20.解：(1)如圖，延長(zhǎng)PE交CD的延長(zhǎng)線于F，

　　設(shè)AP=x，△CPE的面積為y，

　　∵四邊形ABCD為平行四邊形，

　　∴AB=DC=6，AD=BC=8，

　　∵Rt△APE，∠A= 60°，

　　∴∠PEA=30°，

　　∴AE=2x，PE= x，

　　在Rt△DEF中，∠DEF=∠PEA=30°，DE=AD-AE=8-2x，

　　∴DF= DE=4-x，

　　∵AB∥CD，PF⊥AB，

　　∴PF⊥CD，

　　∴S△CPE= PE•CF，

　　即y= × x×(10-x)=- x2+5 x，

　　配方得：y=- (x-5)2+ ，

　　當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值 ，

　　即AP的長(zhǎng)為5時(shí)，△CPE的面積最大，最大面積是 ;

　　(2)當(dāng)△CPE≌△CPB 時(shí)，有BC=CE，∠B=∠PEC=120°，

　　∴∠CED=180°-∠AEP-∠PEC=30°，

　　∵∠ADC=120°，

　　∴∠ECD=∠CED=180°-120°-30°=30°，

　　∴DE=CD，即△EDC是等腰三角形，

　　過(guò)D作DM⊥CE于M，則CM= CE，

　　在Rt△CMD中，∠ECD=30°，

　　∴cos30°= ，

　　∴CM= CD，

　　∴CE= CD，

　　∵BC=CE，AB=CD，

　　∴BC= AB，

　　則當(dāng)△CPE≌△CPB時(shí)，BC與AB滿足的關(guān)系為BC= AB.

　　21.(2013•南平)在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，過(guò)E作EF⊥AC于F，G為線段AE的中點(diǎn)，連接BF、FG、GB.設(shè) =k.

　　(1)證明：△BGF是等腰三角形;

　　(2)當(dāng)k為何值時(shí)，△BGF是等邊三角形?

　　(3)我們知道：在一個(gè)三角形中，等邊所對(duì)的角相等;反過(guò)來(lái)，等角所對(duì)的邊也相等.事實(shí)上，在一個(gè)三角形中，較大的邊所對(duì)的角也較大;反之也成立.

　　利用上述結(jié)論，探究：當(dāng)△BGF分別為銳角、直角、鈍角三角形時(shí)，k的取值范圍.

　　21.解：(1)證明：∵EF⊥AC于點(diǎn)F，

　　∴∠AFE=90°[

　　∵在Rt△AEF中，G為斜邊AE的中點(diǎn)，

　　∴GF= AE，

　　在Rt△ABE中，同理可得BG= AE，

　　∴GF=GB，

　　∴△BGF為等腰三角形;

　　(2)當(dāng)△BGF為等邊三角形時(shí)，∠BGF=60°

　　∵GF=GB=AG，

　　∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE

　　∴∠BGF=2∠BAC，

　　∴∠BAC=30°，

　　∴∠ACB=60°，

　　∴ =tan∠ACB= ，

　　∴當(dāng)k= 時(shí)，△BGF為等邊三角形;

　　(3)由(1 )得△BGF為等腰三角形，由(2)得∠BAC= ∠BGF，

　　∴當(dāng)△BGF為銳角三角形時(shí)，∠BGF<90°，

　　∴∠BAC<45°，

　　∴AB>BC，

　　∴k= >1;

　　當(dāng)△BGF為直角三角形時(shí)，∠BGF=90°，

　　∴∠BAC=45°

　　∴AB=BC，

　　∴k= =1;

　　當(dāng)△BGF為鈍角三角形時(shí)，∠BGF>90°，

　　∴∠BAC>45°[

　　∴AB

　　∴k= <1;

　　∴0