一、選擇題

　　1. (2014•山東煙臺(tái)，第7題3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，梯形中位線EF與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)M，且BD⊥CD，則MF的長(zhǎng)為(　　)

　　A. 1.5 B. 3 C. 3.5 D. 4.5

　　考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形中30°銳角的性質(zhì)，梯形及三角形的中位線.

　　分析： 根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠C的關(guān)系，∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABD與∠ADB的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線，可得答案.

　　解答：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=3，

　　∴∠ABC=∠C，∠ABD=∠ADB，∠ADB=∠BDC.∴∠ABD=∠CBD，∠C=2∠DBC.

　　∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，∴∠DBC=∠C=30°，BC=2DC=2×3=6.

　　∵EF是梯形中位線，∴MF是三角形BCD的中位線，∴MF=BC= 6=3，

　　故選：B.

　　點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，利用了等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì).

　　2.(2014•湖南懷化，第5題，3分)如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC與BD相交于點(diǎn)O，則下列判斷不正確的是(　　)

　　A. △ABC≌△DCB B. △AOD≌△COB C. △ABO≌△DCO D. △ADB≌△DAC

　　考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì);全等三角形的判定.

　　分析： 由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，可得∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，易證得△ABC≌△DCB，△ADB≌△DAC;繼而可證得∠ABO=∠DCO，則可證得△ABO≌△DCO.

　　解答： 解：A、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

　　∴∠ABC=∠DCB，

　　在△ABC和△DCB中，

　　，

　　∴△ABC≌△DCB(SAS);故正確;

　　B、∵AD∥BC，

　　∴△AOD∽△COB，

　　∵BC>AD，

　　∴△AOD不全等于△COB;故錯(cuò)誤;

　　C、∵△ABC≌△DCB，

　　∴∠ACB=∠DBC，

　　∵∠ABC=∠DCB，

　　∴∠ABO=∠DCO，

　　在△ABO和△DCO中，

　　，

　　∴△ABO≌△DCO(AAS);故正確;

　　D、∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，

　　∴∠BAD=∠CDA，

　　在△ADB和△DAC中，

　　，

　　∴△ADB≌△DAC(SAS)，故正確.

　　故選B.

　　點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

　　3. (2014•山東淄博,第7題4分)如圖，等腰梯形ABCD中，對(duì)角線AC、DB相交于點(diǎn)P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC.則cos∠DPC的值是(　　)

　　A. B. C. D.

　　考點(diǎn)： 等腰梯形的性質(zhì).

　　分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，故可得出∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，再由AB=AD=DC可知∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，所以∠DAP=∠ABD=∠DBC，再根據(jù)∠BAC=∠CDB=90°可知，3∠ABD=90°，故∠ABD=30°，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠DPC的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論.

　　解答： 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，

　　∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，

　　∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，

　　∵AB=AD=DC，

　　∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，

　　∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，

　　∵∠BAC=∠CDB=90°，

　　∴3∠ABD=90°，

　　∴∠ABD=30°，

　　在△ABP中，

　　∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，

　　∴∠APB=60°，

　　∴∠DPC=60°，

　　∴cos∠DPC=cos60°=.

　　故選A.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)，熟知等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等是解答此題的關(guān)鍵.

　　4.(2014•浙江寧波，第8題4分)如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，則△ABC與△DCA的面積比為( )

　　A. 2：3 B. 2：5 C. 4：9 D. ：

　　考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì).

　　分析： 先求出△CBA∽△ACD，求出 = ，COS∠ACB•COS∠DAC= ，得出△ABC與△DCA的面積比= .

　　解答： 解：∵AD∥BC，

　　∴∠ACB=∠DAC

　　又∵∠B=∠ACD=90°，

　　∴△CBA∽△ACD

　　AB=2，DC=3，

　　∴COS∠ACB= = ，

　　COS∠DAC= =

　　∵△ABC與△DCA的面積比= ，

　　∴△ABC與△DCA的面積比= ，

　　故選：C.

　　點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是明確△ABC與△DCA的面積比= .