20.(本小題滿分12分)已知橢圓+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)M在橢圓上，且滿足MF2x軸，|MF1|=.

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線y=kx+2交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求ABO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.

解]　(1)由已知得=，又由a2=b2+c2，可得a2=3c2，b2=2c2，

得橢圓方程為+=1，因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限且MF2x軸，

可得M的坐標(biāo)為，由|MF1|==，解得c=1，

所以橢圓的方程為+=1.4分

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

將y=kx+2代入橢圓，可得(3k2+2)x2+12kx+6=0，

由Δ>0，即144k2-24(3k2+2)>0，

可得3k2-2>0，

則有x1+x2=-，x1x2=，

所以|x1-x2|=.8分

因?yàn)橹本�y=kx+2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)，

所以O(shè)AB的面積S=×2×|x1-x2|==.

令3k2-2=t，由知t(0，+∞)，

可得S==2=2≤，

所以t=4時(shí)，面積最大為.12分

21.(本小題滿分12分)已知f(x)=+nln x(m，n為常數(shù))在x=1處的切線為x+y-2=0.

(1)求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若任意實(shí)數(shù)x，使得對(duì)任意的t上恒有f(x)≥t3-t2-2at+2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解]　(1)f(x)=+nln x的定義域?yàn)?0，+∞)，

f′(x)=-+， f′(1)=-+n=-1，

把x=1代入x+y-2=0可得y=1，f(1)==1，

m=2，n=-， f(x)=-ln x，f′(x)=--.

x>0，f′(x)<0，f(x)的遞減區(qū)間是(0，+∞)，無遞增區(qū)間.4分

(2)由(1)可知，f(x)在上單調(diào)遞減，

f(x)在上的最小值為f(1)=1，

只需t3-t2-2at+2≤1，即2a≥t2-t+對(duì)任意的t恒成立.6分

令g(t)=t2-t+，則g′(t)=2t-1-=.

t∈，2t3-t2-1=(t-1)(2t2+t+1)，

在t上g(t)單調(diào)遞減，在1,2]上g(t)單調(diào)遞增.10分

又g=，g(2)=，g(t)在上的最大值是，

只需2a≥，即a≥，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.12分

請(qǐng)考生在第22～2題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

2.(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=4cos θ，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，兩曲線相交于M，N兩點(diǎn).

(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;

(2)若P(-2，-4)，求|PM|+|PN|的值.

解]　(1)根據(jù)x=ρcos θ，y=ρsin θ，求得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x，2分

用代入法消去參數(shù)求得直線l的普通方程為x-y-2=0.5分

(2)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，

代入y2=4x，得到t2-12t+48=0，6分

設(shè)M，N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，8分

則 t1+t2=12，t1·t2=48，

|PM|+|PN|=|t1+t2|=12.10分

2.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1)，且f(x)的最小值為3.

(1)求a的值;

(2)若f(x)≤5，求滿足條件的x的集合.

解]　(1)函數(shù)f(x)=|x-4|+|x-a|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到4，a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為|a-4|=3，4分

再結(jié)合a>1，可得a=7.5分

(2)f(x)=|x-4|+|x-7|=6分

故由f(x)≤5可得

或　或8分

解求得3≤x<4，解求得4≤x≤7，解求得7

綜上，不等式的解集為3,8].10分