A級(jí)　基礎(chǔ)題

　　1.(2013年新疆)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為(　　)

　　A.12 B.15 C.12或15 D.18

　　2.(2013年湖北武漢)在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC邊上的高，則∠DBC的度數(shù)是(　　)

　　A.18° B.24° C.30° D.36°

　　3.(2010年廣東深圳)如圖4­2­37，在△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，則∠B的度數(shù)是(　　)

　　A.40° B.35° C.25° D.20°

　　4.(2013年山東德州)如圖4­2­38，AB∥CD，點(diǎn)E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數(shù)為(　　)

　　A. 68° B.32° C. 22° D.16°

　　5.(2013年山東濱州)在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，則邊AC的長(zhǎng)為________.

　　6.(2013年山東泰安)如圖4­2­39，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長(zhǎng)是________.

　　7.(2012年吉林)如圖4­2­40，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)D，則BD=________.

　　8.(2011年江蘇無(wú)錫)如圖4­2­41，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，若CD=5 cm，則EF=________ cm.

　　9.(2013年福建莆田)圖4­2­42是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是________.

　　10.(2013年湖北荊門)如圖4­2­43(1)，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上.

　　(1)求證：BE=CE;

　　(2)若BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，且BF⊥AC，垂足為F，如圖4­2­43(2)，∠BAC=45°，原題設(shè)其他條件不變.求證：△AEF≌△BCF.

　　B級(jí)　中等題

　　11.(2013年浙江紹興)所示的鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，則∠A的度數(shù)是__________.

　　12.(2013年湖北襄陽(yáng))在一張直角三角形紙片中，分別沿兩直角邊上一點(diǎn)與斜邊中點(diǎn)的連線剪去兩個(gè)三角形，得到如圖4­2­45所示的直角梯形，則原直角三角形紙片的斜邊長(zhǎng)是______________.

　　13.(2013年遼寧沈陽(yáng))如圖4­2­46，在△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF.

　　(1)求證：BF=2AE;

　　(2)若CD=2，求AD的長(zhǎng).

　　C級(jí)　拔尖題

　　14.(2013年江西)某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

　　[操作發(fā)現(xiàn)]

　　在等腰三角形ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖4­2­47(1)，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論：①AF=AG=12AB;②MD=ME;③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形;④∠DAB=∠DMB.其中正確的是____________(填序號(hào)即可).

　　[數(shù)學(xué)思考]

　　在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖4­2­47(2)，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過(guò)程.

　　[類比探索]

　　在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖4­2­47(3)，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀.

　　答：____________________.

　　(1)　　　 　　 (2)　　 　　　 (3)

　　等腰三角形與直角三角形

　　1.B　2.A　3.C　4.B

　　5.2 6　6.2　7.2　8.5　9.10

　　10.證明：(1)∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，

　　∴∠BAE=∠CAE.

　　在△ABE和△ACE中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE，

　　∴△ABE≌△ACE(SAS).

　　∴BE=CE.

　　(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

　　∴△ABF為等腰直角三角形.∴AF=BF.

　　由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF=∠CBF.

　　在△AEF和△BCF中，AF=BF，∠AFE=∠BFC=90°，∠EAF=∠CBF，

　　∴△AEF≌△BCF.

　　11.12°　解析：設(shè)∠A=x.∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x.∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，∴x=12°.即∠A=12°. X Kb 1. C om

　　12.2 13或6 2　解析：如圖17(1)，以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，BD為斜邊上的中線.在Rt△ABD中，可得BD=13，∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長(zhǎng)是2 13;如圖17(2)，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，AC為斜邊上的中線，在Rt△ABC中，可得AC=3 2，∴原直角三角形紙片的斜邊EF的長(zhǎng)是6 2.

　　(1) 　　　　 (2)

　　圖17

　　13.(1)證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，

　　∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.

　　∵AD⊥BC，BE⊥AC，

　　∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，

　　∴∠CAD=∠CBE.

　　又∵∠CDA=∠BDF=90°，

　　∴△ADC≌△BDF(ASA).∴AC=BF.

　　∵AB=BC，BE⊥AC，∴AE=EC，即AC=2AE，

　　∴BF=2AE.

　　(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=2.