證明為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無(wú)窮小數(shù)A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即0.…ab…ab…此小數(shù)就開(kāi)始循環(huán).

　　而無(wú)窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：

　　A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

　　又a是奇數(shù)可取1，3，5，7，9;

　　b是偶數(shù)可取0，2，4，6，8.

　　所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對(duì)一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得A是一循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù).