-奇數(shù)和偶數(shù)

　　整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示 ，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù).

　　關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：

　　(1)奇數(shù)不會同時是偶數(shù);兩個連續(xù)整數(shù)中必是一個奇數(shù)一個偶數(shù);

　　(2)奇數(shù)個奇數(shù)和是奇數(shù);偶數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù);任意多個偶數(shù)的和是偶數(shù);

　　(3)兩個奇(偶)數(shù)的差是偶數(shù);一個偶數(shù)與一個奇數(shù)的差是奇數(shù);

　　(4)若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶;

　　(5)n個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù);順式中有一個是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).

　　以上性質(zhì)簡單明了，解題時如果能巧妙應(yīng)用，常�？梢猿銎嬷苿�.

　　1.代數(shù)式中的奇偶問題

　　例1(第2屆“華羅庚金杯”決賽題)下列每個算式中，最少有一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，那么這12個整數(shù)中，至少有幾個偶數(shù)?

　　□+□=□， □-□=□，

　　□×□=□ □÷□=□.

　　解 因為加法和減法算式中至少各有一個偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個偶數(shù)，故這12個整數(shù)中至少有六個偶數(shù).

　　例2 (第1屆“祖沖之杯”數(shù)學邀請賽)已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組

　　是整數(shù)，那么

　　(A)p、q都是偶數(shù). (B)p、q都是奇數(shù).

　　(C)p是偶數(shù)，q是奇數(shù) (D)p是奇數(shù)，q是偶數(shù)

　　分析 由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選(C)

　　例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一個正號和負號，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).

　　分析 因為兩個整數(shù)之和與這兩個整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)數(shù)字前面都添上正號和負號不改變其奇偶性，而1+2+3+…+1992= =996×1993為偶數(shù) 于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).

　　2.與整除有關(guān)的問題

　　例4(首屆“華羅庚金杯”決賽題)70個數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個數(shù)以外，每個數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個數(shù)的和，這一行最左邊的幾個數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，….問最右邊的一個數(shù)被6除余幾?

　　解 設(shè)70個數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有

　　a1=0, 偶

　　a2=1 奇

　　a3=3a2-a1, 奇

　　a4=3a3-a2, 偶

　　a5=3a4-a3, 奇

　　a6=3a5-a4, 奇

　　………………

　　由此可知：

　　當n被3除余1時，an是偶數(shù);

　　當n被3除余0時，或余2時，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+1型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則

　　a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

　　解 設(shè)十位數(shù)，五個奇數(shù)位數(shù)字之和為a，五個偶數(shù)位之和為b(10≤a≤35,10≤b≤35)，則a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為0，11，22(為什么?).由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.

　　要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876，由于偶數(shù)位五個數(shù)字之和是17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個數(shù)字之和只能是17-14=3，這三個數(shù)字只能是2，1，0.

　　故所求的十位數(shù)是9876524130.

　　例6(1990年日本高考數(shù)學試題)設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式

　　123456789=(11111+a)(11111-b)， ①

　　證明a-b是4的倍數(shù).

　　證明 由①式可知

　　11111(a-b)=ab+4×617 ②

　　∵a>0,b>0,∴a-b>0

　　首先，易知a-b是偶數(shù)，否則11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式①矛盾

　　其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)②可知ab是偶數(shù)，進而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4×617是4的倍數(shù)，由②知a-b是4的倍數(shù).