3.圖表中奇與偶

　　例7(第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)在3×3的正方格(a)和(b)中，每格填“+”或“-”的符號(hào)，然后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變化為另一張表.

　　解 按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：

　　在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè).

　　表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù);但表(b)中小正方形“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè).

　　顯然，小正方形互變無法實(shí)現(xiàn)，3×3的大正方形的互變，更無法實(shí)現(xiàn).

　　例8(第36屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)將奇正數(shù)1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，從左數(shù)起是第幾列?(此處無表)

　　解 由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985在第二列.

　　例9 如圖3-1，設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，一個(gè)是紅點(diǎn)，一個(gè)是綠點(diǎn)，在線段中插入n個(gè)分點(diǎn)，把AB分成n+1個(gè)不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)為紅點(diǎn)而另一個(gè)為綠點(diǎn)的話，則稱它為標(biāo)準(zhǔn)線段.

　　證明 不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇數(shù).

　　分析 n個(gè)分點(diǎn)的位置無關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用A、B分別表示紅、綠點(diǎn);

　　不難看出：分點(diǎn)每改變一次字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從A點(diǎn)開始，每連續(xù)改變兩次又回到A，現(xiàn)在最后一個(gè)字母是B，故共改變了奇數(shù)次，所以標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)必為奇數(shù). 4.有趣的應(yīng)用題

　　例 10(第2屆“從小愛數(shù)學(xué)”賽題)圖3-2是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.

　　(1)如果P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)在岸上還是在水中?

　　(2)某人過這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.如果有一點(diǎn)B，他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù)，那么B點(diǎn)是在岸上還是在水中?說明理由.

　　解 (1)連結(jié)AP，顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而A點(diǎn)必在水中.

　　(2)從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為2，由于 A點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見B點(diǎn)必在岸上.

　　例11 書店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年片花去多少錢?

　　分析 設(shè)買的賀年片分別為a、b、c、d(張)，用去k張1元的人民幣，依題意有

　　10a+15b+25c+40d=100k,(k為正整數(shù))

　　即 2a+3b+5c+8d=20k

　　顯然b、c有相同的奇偶性.

　　若同為偶數(shù)，b-c=10 和a=b=5， 不是整數(shù);

　　若同為奇數(shù)，b=c=5和a=d=10,k=7.

　　例12 一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門或圓形門相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇任何路線任意參觀若干個(gè)展覽室(可重復(fù))之后回到廳外，他經(jīng)過的方形門的次數(shù)與圓形門的次數(shù)(重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算)之差總是偶數(shù).

　　證明 給出入口處展覽室記“+”號(hào)，凡與“+”相鄰的展覽室記“-”號(hào)，凡與“-”號(hào)相鄰的展覽室都記“+”號(hào)，如此則相鄰兩室的“+”、“-”號(hào)都不同.

　　一參觀者從出入口處的“+”號(hào)室進(jìn)入廳內(nèi)，走過若干個(gè)展覽室又回到入口處的“+”號(hào)室，他的路線是+-+-…+-+-，即從“+”號(hào)室起到“+”號(hào)室止，中間“-”、“+”號(hào)室為n+1(重復(fù)經(jīng)過的重復(fù)計(jì)算)，即共走了2n+1室，于是參觀者從廳外進(jìn)去參觀后又回到廳外共走過了2n+2個(gè)門(包括進(jìn)出出入口門各1次).設(shè)其經(jīng)過的方形門的次數(shù)是r次，經(jīng)過圓形門的次數(shù)是s，則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命題結(jié)論成立.

　　例13 有一無窮小數(shù)A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)，a2是偶數(shù)，a3等于a1+a2的個(gè)位數(shù)…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的個(gè)位數(shù)，證明A是有理數(shù).

　　證明 為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無窮小數(shù)A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即0.…ab…ab…此小數(shù)就開始循環(huán).

　　而無窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：

　　A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

　　又a是奇數(shù)可取1，3，5，7，9;

　　b是偶數(shù)可取0，2，4，6，8.

　　所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對(duì)一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得A是一循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù).