12.

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.

(1)求證：D1CAC1;

(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由.

命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過已知條件中的線線垂直關(guān)系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關(guān)系.并通過線段的長度關(guān)系，借助題目中線段的中點(diǎn)和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關(guān)系.解決本題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)作圖、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造.

解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接C1D， DC=DD1，

四邊形DCC1D1是正方形，

DC1⊥D1C.

又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，

AD⊥平面DCC1D1，

又D1C平面DCC1D1，

AD⊥D1C.

∵ AD⊂平面ADC1，DC1平面ADC1，

且AD∩DC1=D，

D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，

D1C⊥AC1.

(1)題圖

(2)題圖

(2)連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN.

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E平面A1BD，

可使MND1E，又M是AD1的中點(diǎn)，

則N是AE的中點(diǎn).

又易知ABN≌△EDN，

AB=DE.

即E是DC的中點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E平面A1BD.

13.

已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).

(1)證明：MN平面A′ACC′;

(2)求三棱錐C-MNB的體積.

命題立意：本題主要考查空間線面位置關(guān)系、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí).意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

解析：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，

四邊形ABB′A′為矩形，M為A′B的中點(diǎn)，

AB′與A′B交于點(diǎn)M，且M為AB′的中點(diǎn)，又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn).

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，

MN∥平面A′ACC′.

(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN，

BAC=90°， BC==2，

又三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，且AA′=4，

S△BCN=×2×4=4.

A′B′=A′C′=2，BAC=90°，點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，

A′N⊥B′C′，A′N=.

又BB′⊥平面A′B′C′，

A′N⊥BB′，

A′N⊥平面BCN.

又M為A′B的中點(diǎn)，

M到平面BCN的距離為，

VC-MNB=VM-BCN=×4×=.

14.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

命題立意：本題主要考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理以及棱錐的體積的計(jì)算等，意在考查考生的邏輯推理能力與計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解析：(1)證明：在ABD中，因?yàn)锳D=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD平面PAD，

又BD平面MBD，

所以平面MBD平面PAD.

(2)過點(diǎn)P作OPAD交AD于點(diǎn)O，

因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，

所以PO平面ABCD.

因此PO為四棱錐P-ABCD的高.

又PAD是邊長為4的等邊三角形，

所以PO=×4=2.

在四邊形ABCD中，ABDC，AB=2DC，

所以四邊形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為=，此即為梯形ABCD的高.

所以四邊形ABCD的面積S=×=24.

故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=×24×2=16.