12.已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，對任意的nN*，有an+1=a1+a2+…+an-1+an+.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)設數(shù)列{bn}滿足：bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*)，若{bn}為等差數(shù)列，求實數(shù)t的值及數(shù)列{bn}的通項公式.

解析：(1)解法一：設{an}的公比為q，

則由題設，得

即

由-，得a1q2-a1q=-a1+a1q，

即2a1q2-7a1q+3a1=0.

a1≠0， 2q2-7q+3=0，

解得q=(舍去)或q=3.

將q=3代入，得a1=1，

an=3n-1.

解法二：設{an}的公比為q，則由已知，得

a1qn=+a1qn-1+，

即a1qn=qn-+，

比較系數(shù)得

解得(舍去)或 an=3n-1.

(2)由(1)，得

bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t)

=[1+2+…+(n-1)+log3 t]

=

=+log3 t.

{bn}為等差數(shù)列，

bn+1-bn等于一個與n無關的常數(shù)，

而bn+1-bn=-+log3 t

=-log3 t，

log3 t=0， t=1，此時bn=.

13.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-an-n-1+2(nN*)，數(shù)列{bn}滿足bn=2n·an.

(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)設cn=log2，數(shù)列的前n項和為Tn，求滿足Tn<(nN*)的n的最大值.

解析：(1)證明：在Sn=-an-n-1+2中，

令n=1，可得S1=-a1-1+2=a1，得a1=.

當n≥2時，Sn-1=-an-1-n-2+2，

an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1，

即2an=an-1+n-1.

2n·an=2n-1·an-1+1.

bn=2n·an， bn=bn-1+1.

又b1=2a1=1， {bn}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

于是bn=1+(n-1)·1=n， an=.

(2) cn=log2=log22n=n，

==-.

Tn=++…+=1+--.

由Tn<，得1+--<，即+>，f(n)=+單調遞減，

f(3)=，f(4)=，f(5)=，

n的最大值為4.