二、填空題

7.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列且bn=an+1-an(nN*).若b2=-2，b7=8，則a8=________.

答案：16　解題思路： {bn}為等差數(shù)列，且b2=-2，b7=8，設(shè)其公差為d，

b7-b2=5d，即8+2=5d. d=2.

bn=-2+(n-2)×2=2n-6.

an+1-an=2n-6.

由a2-a1=2×1-6，a3-a2=2×2-6，…，an-an-1=2×(n-1)-6，累加得：an-a1=2×(1+2+…+n-1)-6(n-1)=n2-7n+6，

an=n2-7n+8. a8=16.

8.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項(xiàng)ak1，ak2，ak3，…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1=1，k2=2，k3=6，則k4=________.

答案：22　命題立意：本題考查等差與等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，難度中等.

解題思路：據(jù)題意知等差數(shù)列的a1，a2，a6成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1+d)2=a1(a1+5d)，

解得d=3a1，故a2=4a1，a6=16a1ak4=64a1=a1+(k4-1)(3a1)，解得k4=22.

9.已知數(shù)列{an}滿足a1=33，an+1-an=2n，則的最小值為________.

答案：　命題立意：本題主要考查累加法，難度中等.

解題思路：因?yàn)閍1=33，an+1-an=2n，故利用累加法表示.an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1，那么可知==n+-1，借助于函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)n=6時(shí)，取得最小值為.

10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=________.

答案：　命題立意：本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式等知識，意在考查考生的觀察能力、化歸與轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力.

解題思路：依題意，得-=(n≥2)，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，于是有=1+(n-1)，an=.

三、解答題

11.已知Sn是正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S，S，…，S，…是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列;數(shù)列{bn}為無窮等比數(shù)列，其前四項(xiàng)之和為120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90.

(1)求an，bn;

(2)從數(shù)列中能否挑出唯一的無窮等比數(shù)列，使它的各項(xiàng)和等于?若能的話，請寫出這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)和公比;若不能的話，請說明理由.

解析：(1){S}是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

所以S=3+(n-1)=n+2.

因?yàn)閍n>0，所以Sn=(nN*).

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-，

又a1=S1=，

所以an=(nN*).

設(shè){bn}的首項(xiàng)為b1，公比為q，則有

所以即bn=3n(nN*).

(2)=n，設(shè)可以挑出一個(gè)無窮等比數(shù)列{cn}，

首項(xiàng)為c1=p，公比為k(p，kN*)，它的各項(xiàng)和等于=，則有=，

所以p=.

當(dāng)p≥k時(shí)，3p-3p-k=8，即3p-k(3k-1)=8，

因?yàn)閜，kN*，所以只有當(dāng)p-k=0，k=2，即p=k=2時(shí)，數(shù)列{cn}的各項(xiàng)和為.

當(dāng)pp，右邊含有3的因數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，故不存在p，kN*，所以存在唯一的等比數(shù)列{cn}，首項(xiàng)為，公比為，使它的各項(xiàng)和等于.