13.

已知直三棱柱ABC-A′B′C′滿足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，點(diǎn)M，N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).

(1)證明：MN平面A′ACC′;

(2)求三棱錐C-MNB的體積.

命題立意：本題主要考查空間線面位置關(guān)系、三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識(shí).意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

解析：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，

四邊形ABB′A′為矩形，M為A′B的中點(diǎn)，

AB′與A′B交于點(diǎn)M，且M為AB′的中點(diǎn)，又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn).

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，

MN∥平面A′ACC′.

(2)由圖可知VC-MNB=VM-BCN，

BAC=90°， BC==2，

又三棱柱ABC-A′B′C′為直三棱柱，且AA′=4，

S△BCN=×2×4=4.

A′B′=A′C′=2，BAC=90°，點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，

A′N⊥B′C′，A′N=.

又BB′⊥平面A′B′C′，

A′N⊥BB′，

A′N⊥平面BCN.

又M為A′B的中點(diǎn)，

M到平面BCN的距離為，

VC-MNB=VM-BCN=×4×=.

14.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.

(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD;

(2)求四棱錐P-ABCD的體積.

命題立意：本題主要考查線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理以及棱錐的體積的計(jì)算等，意在考查考生的邏輯推理能力與計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解析：(1)證明：在ABD中，因?yàn)锳D=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD平面PAD，

又BD平面MBD，

所以平面MBD平面PAD.

(2)過(guò)點(diǎn)P作OPAD交AD于點(diǎn)O，

因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，

所以PO平面ABCD.

因此PO為四棱錐P-ABCD的高.

又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

所以PO=×4=2.

在四邊形ABCD中，ABDC，AB=2DC，

所以四邊形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中，斜邊AB上的高為=，此即為梯形ABCD的高.

所以四邊形ABCD的面積S=×=24.

故四棱錐P-ABCD的體積VP-ABCD=×24×2=16.