二、填空題

7.如圖，四邊形ABCD為菱形，四邊形CEFB為正方形，平面ABCD平面CEFB，CE=1，AED=30°，則異面直線BC與AE所成角的大小為________.

答案：45°　解題思路：因為BCAD，所以EAD就是異面直線BC與AE所成的角.

因為平面ABCD平面CEFB，且ECCB，

所以EC平面ABCD.

在RtECD中，EC=1，CD=1，故ED==.

在AED中，AED=30°，AD=1，由正弦定理可得=，即sin EAD===.

又因為EAD∈(0°，90°)，所以EAD=45°.

故異面直線BC與AE所成的角為45°.

8.給出命題：

異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線;

兩異面直線a，b，如果a平行于平面α，那么b不平行于平面α;

兩異面直線a，b，如果a平面α，那么b不垂直于平面α;

兩異面直線在同一平面內(nèi)的射影不可能是兩條平行直線.

上述命題中，真命題的序號是________.

答案：　解題思路：本題考查了空間幾何體中的點、線、面之間的關系.根據(jù)異面直線的定義知：異面直線是指空間中既不平行又不相交的直線，故命題為真命題;兩條異面直線可以平行于同一個平面，故命題為假命題;若bα，則ab，即a，b共面，這與a，b為異面直線矛盾，故命題為真命題;兩條異面直線在同一個平面內(nèi)的射影可以是：兩條平行直線、兩條相交直線、一點一直線，故命題為假命題.

9.如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.已知一個正六棱錐的各個頂點都在半徑為3的球面上，則該正六棱錐的體積的最大值為________.

答案：16　命題立意：本題以球的內(nèi)接組合體問題引出，綜合考查了棱錐體積公式、利用導數(shù)工具處理函數(shù)最值的方法，同時也有效地考查了考生的運算求解能力和數(shù)學建模能力.

解題思路：設球心到底面的距離為x，則底面邊長為，高為x+3，正六棱錐的體積V=×(9-x2)×6(x+3)=(-x3-3x2+9x+27)，其中0≤x<3，則V′=(-3x2-6x+9)=0，令x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3(舍)，故Vmax=V(1)=(-1-3+9+27)=16.

10.已知三棱錐P-ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，=，則三棱錐與球的體積之比為________.

答案：　命題立意：本題主要考查線面垂直、三棱錐與球的體積計算方法，意在考查考生的空間想象能力與基本運算能力.

解題思路：依題意，AB=2R，又=，ACB=90°，因此AC=R，BC=R，三棱錐P-ABC的體積VP-ABC=PO·SABC=×R××R×R=R3.而球的體積V球=R3，因此VP-ABCV球=R3R3=.

三、解答題

11.

如圖，四邊形ABCD與A′ABB′都是正方形，點E是A′A的中點，A′A平面ABCD.

(1)求證：A′C平面BDE;

(2)求證：平面A′AC平面BDE.

解題探究：第一問通過三角形的中位線證明出線線平行，從而證明出線面平行;第二問由A′A與平面ABCD垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明出BD與平面A′AC垂直，從而得到平面與平面垂直.

解析：(1)設AC交BD于M，連接ME.

四邊形ABCD是正方形，

M為AC的中點.

又 E為A′A的中點，

ME為A′AC的中位線，

ME∥A′C.

又 ME⊂平面BDE，

A′C⊄平面BDE，

A′C∥平面BDE.

(2)∵ 四邊形ABCD為正方形， BD⊥AC.

∵ A′A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

A′A⊥BD.

又AC∩A′A=A， BD⊥平面A′AC.

BD⊂平面BDE，

平面A′AC平面BDE.

12.

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，ADDC，ABDC.

(1)求證：D1CAC1;

(2)設E是DC上一點，試確定E的位置，使D1E平面A1BD，并說明理由.

命題立意：本題主要考查空間幾何體中的平行與垂直的判定，考查考生的空間想象能力和推理論證能力.通過已知條件中的線線垂直關系和線面垂直的判定證明線面垂直，從而證明線線的垂直關系.并通過線段的長度關系，借助題目中線段的中點和三角形的中位線尋找出線線平行，證明出線面的平行關系.解決本題的關鍵是學會作圖、轉(zhuǎn)化、構造.

解析：(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，連接C1D， DC=DD1，

四邊形DCC1D1是正方形，

DC1⊥D1C.

又ADDC，ADDD1，DC∩DD1=D，

AD⊥平面DCC1D1，

又D1C平面DCC1D1，

AD⊥D1C.

∵ AD⊂平面ADC1，DC1平面ADC1，

且AD∩DC1=D，

D1C⊥平面ADC1，

又AC1平面ADC1，

D1C⊥AC1.

(1)題圖

(2)題圖

(2)連接AD1，AE，D1E，設AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，連接MN.

平面AD1E∩平面A1BD=MN，

要使D1E平面A1BD，

可使MND1E，又M是AD1的中點，

則N是AE的中點.

又易知ABN≌△EDN，

AB=DE.

即E是DC的中點.

綜上所述，當E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.