二項(xiàng)式定理是代數(shù)中的一條基本公式，它可以用于求解各種代數(shù)問題。它的表述如下：

$$(a+b)^n=\sum\limits_^n \binoma^b^i$$

其中，$a$和$b$是常數(shù)，$n$是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，$\binom$表示從$n$個(gè)元素中取出$i$個(gè)元素的組合數(shù)。這個(gè)公式包含了二項(xiàng)式系數(shù)$\binom$和冪次$a^$和$b^i$的組合。

二項(xiàng)式定理的證明可以通過歸納法來完成。對(duì)于$n=1$的情況，$(a+b)^1=a+b$，公式顯然成立?，F(xiàn)在假設(shè)公式對(duì)于$n=k$成立，即：

$$(a+b)^k=\sum\limits_^k \binoma^b^i$$

現(xiàn)在考慮$n=k+1$的情況。我們可以將$(a+b)^$表示為$(a+b)^k(a+b)$，根據(jù)歸納假設(shè)，$(a+b)^k$可以表示為：

$$(a+b)^k=\sum\limits_^k \binoma^b^i$$

現(xiàn)在，我們可以將$(a+b)^$展開，得到：

$$(a+b)^=(a+b)\sum\limits_^k \binoma^b^i$$

對(duì)于上式右邊的求和式，我們可以將其展開：

$$(a+b)\sum\limits_^k \binoma^b^i =\sum\limits_^k \binoma^b^i+\sum\limits_^k \binoma^b^$$

現(xiàn)在我們需要將求和式中的指數(shù)寫成$k+1$和$i$的形式。對(duì)于第一項(xiàng)：

$$\sum\limits_^k \binoma^b^i =\sum\limits_^k \binoma^b^i+\binoma^b^= \sum\limits_^ \binoma^b^$$

對(duì)于第二項(xiàng)：

$$\sum\limits_^k \binoma^b^=\sum\limits_^ \binoma^b^+ \binoma^b^=\sum\limits_^ \binoma^b^$$

因此，我們可以將展開后的式子寫成：

$$(a+b)^=\sum\limits_^ \binoma^b^+\sum\limits_^ \binoma^b^$$

我們可以將兩項(xiàng)合并，并利用二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)，即$\binom=\binom$，得到：

$$(a+b)^=\sum\limits_^ \binoma^b^$$

因此，我們證明了二項(xiàng)式定理對(duì)于所有的非負(fù)整數(shù)$n$都是成立的。