重心、垂心和外心是三角形中的重要點，它們有著特殊的性質(zhì)和應(yīng)用。在研究三角形的性質(zhì)時，往往需要用到這些點的向量表示。

首先，我們來介紹一下重心、垂心和外心的定義。在三角形ABC中，重心G是三條中線的交點，垂心H是三條高線的交點，外心O是三條垂直平分線的交點。這三個點的向量表示如下：

重心G的向量表示為：$\vec=\frac(\vec+\vec+\vec)$。

垂心H的向量表示為：$\vec=\vec+\vec+\vec$。

外心O的向量表示為：$\vec+\vec+\vec=2\vec$，其中$O_1$為三角形ABC的外接圓圓心。

接下來，我們來研究一下這三個點之間的向量關(guān)系。根據(jù)向量的加減法和數(shù)乘法，我們可以得到以下結(jié)論：

（1）重心、垂心和外心三點共線。

證明：由于重心G是中線的交點，所以$\vec=\frac(\vec+\vec+\vec)$。又因為垂心H是高線的交點，所以$\vec=\vec+\vec+\vec$。將上述兩個式子相加，可以得到$\vec+\vec=\frac(\vec+\vec+\vec)$。同理，將外心O的向量表示代入上式，可以得到$\vec+\vec+\vec=0$，即重心、垂心和外心三點共線。

（2）重心到垂心的向量等于外心到重心的向量的一半。

證明：由于$\vec=-\vec-\vec$，代入$\vec+\vec+\vec=0$，可以得到$\vec=-\frac\vec$。又因為$\vec$和$\vec$的方向相反，所以$\vec=\frac\vec-\vec$。因此，重心到垂心的向量等于外心到重心的向量的一半。

最后，我們來說明一下這些結(jié)論的應(yīng)用。在三角形的相關(guān)問題中，我們經(jīng)常需要利用重心、垂心和外心的性質(zhì)來求解。例如，可以利用重心的性質(zhì)來確定三角形的重心位置，利用垂心的性質(zhì)來確定三角形的高線方程，利用外心的性質(zhì)來確定三角形的外接圓方程等等。

總之，重心、垂心和外心是三角形中的三個重要點，它們有著特殊的性質(zhì)和應(yīng)用。通過向量的表示和運算，可以更加深入地理解它們之間的關(guān)系，并且在實際問題中應(yīng)用它們的性質(zhì)來求解。