(1+1/x)^x是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)列，它的極限是e。e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，約等于2.71828。

要理解為什么(1+1/x)^x的極限是e，我們需要先了解一些數(shù)學(xué)知識(shí)。首先，我們知道e可以用級(jí)數(shù)表示：

e=1+1/1!+1/2!+1/3!+...

這個(gè)級(jí)數(shù)是無(wú)限的，但它收斂到一個(gè)確定的值，就是e。

接下來(lái)，我們可以用這個(gè)級(jí)數(shù)來(lái)證明(1+1/x)^x的極限是e。我們將式子變形一下，得到：

(1+1/x)^x=e^(xln(1+1/x))

現(xiàn)在我們來(lái)看右邊的式子。xln(1+1/x)可以用級(jí)數(shù)表示：

xln(1+1/x)=x(1/x-1/2x^2+1/3x^3-...)

這個(gè)級(jí)數(shù)也是無(wú)限的，但是我們只需要前面幾項(xiàng)就可以得到足夠精確的結(jié)果了。

現(xiàn)在我們可以把這個(gè)級(jí)數(shù)代入原來(lái)的式子了：

(1+1/x)^x=e^(xln(1+1/x))=e^(1-1/2x+1/3x^2-...)

這個(gè)式子的右邊也是一個(gè)級(jí)數(shù)，它的前幾項(xiàng)就是e的級(jí)數(shù)。因此，當(dāng)x趨近于無(wú)窮大時(shí)，(1+1/x)^x也趨近于e。

這就是為什么(1+1/x)^x的極限是e。雖然這個(gè)證明有點(diǎn)復(fù)雜，但是它展示了數(shù)學(xué)的美妙之處：通過(guò)推理、變形和級(jí)數(shù)展開(kāi)，我們可以發(fā)現(xiàn)看似不相關(guān)的數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)系，從而更深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。