線性回歸是一種常用的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它可以通過(guò)對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，來(lái)預(yù)測(cè)新的數(shù)據(jù)。在這篇文章中，我們將介紹線性回歸的公式推導(dǎo)。

首先，我們需要定義一些符號(hào)。假設(shè)我們有一個(gè)包含n個(gè)樣本的數(shù)據(jù)集，每個(gè)樣本有d個(gè)特征。我們用x(i,j)表示第i個(gè)樣本的第j個(gè)特征，用y(i)表示第i個(gè)樣本的輸出。我們的目標(biāo)是通過(guò)這些樣本來(lái)構(gòu)建一個(gè)線性模型，使得對(duì)于任意一個(gè)新的樣本x，都能夠預(yù)測(cè)出它的輸出y。

我們的線性模型可以表示為：

y = w0 + w1x(1) + w2x(2) + ... + wdx(d)

其中，w0是偏置項(xiàng)，w1到wd是權(quán)重。我們的目標(biāo)是找到一組權(quán)重和偏置項(xiàng)，使得對(duì)于所有的樣本i，模型的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值的差距最小。我們可以用最小二乘法來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題。

最小二乘法的思想是，最小化所有樣本的預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之差的平方和。我們可以定義這個(gè)平方和為損失函數(shù)，記為J(w0,w1,...,wd)：

J(w0,w1,...,wd) = (1/2n) * ∑(i=1 to n) (y(i) - yhat(i))^2

其中，yhat(i)表示第i個(gè)樣本的預(yù)測(cè)值，可以用模型的公式來(lái)計(jì)算：

yhat(i) = w0 + w1x(i,1) + w2x(i,2) + ... + wdx(i,d)

現(xiàn)在，我們的目標(biāo)是找到一組權(quán)重和偏置項(xiàng)，使得損失函數(shù)最小。我們可以通過(guò)對(duì)損失函數(shù)求偏導(dǎo)來(lái)得到最小值，具體的求導(dǎo)過(guò)程略去不表。最終，我們得到了一組公式來(lái)更新權(quán)重和偏置項(xiàng)：

w0 = w0 - alpha * (1/n) * ∑(i=1 to n) (yhat(i) - y(i))

wj = wj - alpha * (1/n) * ∑(i=1 to n) (yhat(i) - y(i)) * x(i,j)

其中，alpha是學(xué)習(xí)率，它控制每一次更新的步長(zhǎng)。我們可以通過(guò)多次迭代來(lái)更新權(quán)重和偏置項(xiàng)，直到損失函數(shù)收斂。

綜上所述，線性回歸的公式推導(dǎo)包括了定義符號(hào)、構(gòu)建線性模型、定義損失函數(shù)以及更新權(quán)重和偏置項(xiàng)四個(gè)步驟。通過(guò)這些步驟，我們可以得到一組權(quán)重和偏置項(xiàng)，用于對(duì)新的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。