全國2012年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

課程代碼：04184

說明：在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩.

一、  單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)行列式=2,則=(　　　)

A.-12 B.-6 C.6 D.12

2.設(shè)矩陣A=,則A*中位于第1行第2列的元素是(　　　)

A.-6 B.-3 C.3 D.6

3.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則=(      )

A.3 B. C. D.3

4.已知43矩陣A的列向量組線性無關(guān)，則AT的秩等于(      )

A.1 B.2 C.3 D.4

5.設(shè)A為3階矩陣,P =,則用P左乘A，相當(dāng)于將A (      )

A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列

C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列

6.齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為(      )

A.1 B.2 C.3 D.4

7.設(shè)4階矩陣A的秩為3，為非齊次線性方程組Ax =b的兩個(gè)不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為(      )

A. B. C. D.

8.設(shè)A是n階方陣，且|5A+3E|=0，則A必有一個(gè)特征值為(      )

A. B. C. D.

9.若矩陣A與對角矩陣D=相似，則A3=(      )

A.E B.D C.A D.-E

10.二次型f =是(      )

A.正定的 B.負(fù)定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.行列式=____________.

12.設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣P =，Q =，若矩陣B=QAP ,

則r(B)=_____________.

13.設(shè)矩陣A=，B=，則AB=_______________.

14.向量組=(1,1,1,1),=(1,2,3,4),=(0,1,2,3)的秩為______________.

15.設(shè),是5元齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=______________.

16.非齊次線性方程組Ax =b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為，

則方程組的通解是__________________________________.

17.設(shè)A為3階矩陣，若A的三個(gè)特征值分別為1，2，3，則|A|=___________.

18.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個(gè)特征值為2，則A*必有一個(gè)特征值為_________.

19.二次型f=的正慣性指數(shù)為_________.

20.二次型f=經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形______________.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.計(jì)算行列式D =

22.設(shè)A=，矩陣X滿足關(guān)系式A+X=XA,求X.

23.設(shè)均為4維列向量，A=（）和B=（）為4階方陣.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.

24.已知向量組=(1,2,1,1)T,=(2,0,t,0)T,=(0,4,5,2)T,=(3,2,t+4,-1)T（其中t為參數(shù)），求向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.

25.求線性方程組.

（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

26.已知向量(1,1,1)T，求向量,使兩兩正交.

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A為mn實(shí)矩陣，ATA為正定矩陣.證明：線性方程組A=0只有零解.