全國(guó)2012年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||||表示向量的長(zhǎng)度，T表示向量的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1．設(shè)行列式=2，則=（      ）

A．-6 B．-3

C．3 D．6

2．設(shè)矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（      ）

A．E+A-1 B．E-A

C．E+A D．E-A-1

3．設(shè)矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（      ）

A．可逆，且其逆為 B．不可逆

C．可逆，且其逆為 D．可逆，且其逆為

4．設(shè)1，2，…，k是n維列向量，則1，2，…，k線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（      ）

A．向量組1，2，…，k中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)

B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l11+l22+…+lkk≠0

C．向量組1，2，…，k中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示

D．向量組1，2，…，k中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示

5．已知向量則=（      ）

A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T

C．（1，-1，-2，0）T D．（2，-6，-5，-1）T

6．實(shí)數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（      ）

A．1 B．2

C．3 D．4

7．設(shè)是非齊次線性方程組Ax=b的解，是其導(dǎo)出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是（      ）

A．+是Ax=0的解 B．+是Ax=b的解

C．-是Ax=b的解 D．-是Ax=0的解

8．設(shè)三階方陣A的特征值分別為，則A-1的特征值為（      ）

A． B．

C． D．2,4,3

9．設(shè)矩陣A=，則與矩陣A相似的矩陣是（      ）

A． B．

C． D．

10．以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（      ）

A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 B．正定矩陣的行列式一定小于零

C．正定矩陣的行列式一定大于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣

二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

11．設(shè)det (A)=-1，det (B)=2，且A，B為同階方陣，則det ((AB)3)=__________．

12．設(shè)3階矩陣A=，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________．

13．設(shè)方陣A滿足Ak=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A-1=__________．

14．實(shí)向量空間Rn的維數(shù)是__________．

15．設(shè)A是m×n矩陣，r (A)=r,則Ax=0的基礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)為__________．

16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________．

17．設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的解，而是非齊次線性方程組Ax=b的解，則=__________．

18．設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為8，則det（-8E+A）=__________．

19．設(shè)P為n階正交矩陣，x是n維單位長(zhǎng)的列向量，則||Px||=__________．

20．二次型的正慣性指數(shù)是__________．

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21．計(jì)算行列式．

22．設(shè)矩陣A=，且矩陣B滿足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩陣B．

23．設(shè)向量組求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量通過極大線性無(wú)關(guān)組表示出來．

24．設(shè)三階矩陣A=，求矩陣A的特征值和特征向量．

25．求下列齊次線性方程組的通解．

26．求矩陣A=的秩．

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27．設(shè)三階矩陣A=的行列式不等于0，證明：

線性無(wú)關(guān)．