全國(guó)2011年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

說(shuō)明：本卷中，AT表示方陣A的轉(zhuǎn)置鉅陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1．設(shè)，則=（　　�。�

A．-49 B．-7

C．7 D．49

2．設(shè)A為3階方陣，且，則（　　�。�

A．-32 B．-8

C．8 D．32

3．設(shè)A，B為n階方陣，且AT=-A，BT=B，則下列命題正確的是（　　�。�

A．（A+B）T=A+B B．（AB）T=-AB

C．A2是對(duì)稱矩陣 D．B2+A是對(duì)稱陣

4．設(shè)A，B，X，Y都是n階方陣，則下面等式正確的是（　　�。�

A．若A2=0，則A=0 B．（AB）2=A2B2

C．若AX=AY，則X=Y D．若A+X=B，則X=B-A

5．設(shè)矩陣A=，則秩（A）=（　　�。�

A．1 B．2

C．3 D．4

6．若方程組僅有零解，則k≠（　　�。�

A．-2 B．-1

C．0 D．2

7．實(shí)數(shù)向量空間V={（x1，x2，x3）|x1 +x3=0}的維數(shù)是（　　�。�

A．0 B．1

C．2 D．3

8．若方程組有無(wú)窮多解，則=（　　�。�

A．1 B．2

C．3 D．4

9．設(shè)A=，則下列矩陣中與A相似的是（　　�。�

A． B．

C． D．

10．設(shè)實(shí)二次型，則f（　　�。�

A．正定 B．不定

C．負(fù)定 D．半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

11．設(shè)A=(-1,1,2)T，B=(0,2,3)T,則|ABT|=______.

12．設(shè)三階矩陣，其中為A的列向量，且|A|=2，則

______.

13．設(shè)，且秩(A)=3，則a,b,c應(yīng)滿足______.

14．矩陣的逆矩陣是______.

15．三元方程x1+x3=1的通解是______.

16．已知A相似于，則|A-E|=______.

17．矩陣的特征值是______.

18．與矩陣相似的對(duì)角矩陣是______.

19．設(shè)A相似于，則A4______.

20．二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩陣是______.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21．計(jì)算4階行列式D=.

22．設(shè)A=，而X滿足AX+E=A2+X，求X.

23．求向量組：的秩，并給出該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，同時(shí)將其余的向量表示成該極大無(wú)關(guān)組的線性組合.

24．當(dāng)為何值時(shí)，齊次方程組有非零解？并求其全部非零解.

25．已知1,1,-1是三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的三個(gè)特征值，向量、是A的對(duì)應(yīng)于的特征向量，求A的屬于的特征向量.

26．求正交變換Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形.

四、證明題（本大題6分）

27．設(shè)線性無(wú)關(guān)，證明也線性無(wú)關(guān).