二、參考答案

　　1、

　　期權(quán)的有效期限為八周。假設(shè)到期日時股票價格是95元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán);相應(yīng)的與之等值的策略2的合計額也應(yīng)該是0，由此我們可以計算出

　　復(fù)制的借貸金額本金是2994元，而期權(quán)的有效期限為八周，借貸金額年利為10%。具體計算見表9-1。

　　表9-1

　　初始交易

　　到期日盈利

　　若股票價格是120元

　　若股票價格是95元

　　策略1：

　　購進(jìn)看漲期權(quán)

　　(含100股的合約)

　　執(zhí)行看漲期權(quán)

　　100×(120-112)=800

　　放棄看漲期權(quán)

　　0

　　策略2：

　　購進(jìn)32股股票

　　借貸2994元

　　策略2的合計

　　32×120 = 3840

　　-2994 (1+10%×8/52) = -3040

　　800

　　32 95 = 3040

　　2994 (1+10%×8/52) =-3040

　　0

　　由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲期權(quán)合約的價值C= 元。

　　另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。

　　策略1的凈收益=800-C，

　　策略2的凈收益=32 (120-96 )-2994 10%*8/52(利息支出)

　　= 32 24-46=722元

　　因此看漲期權(quán)合約的價值C=800-722=78元

　　2、

　　期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時股票價格是40元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán);相應(yīng)的與之等值的策略2的合計額也應(yīng)該是0，由此我們可以計算出

　　復(fù)制的借貸金額本金是1835元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為9%。具體計算見表9-2。

　　表9-2

　　初始交易

　　到期日盈利

　　若股票價格是60元

　　若股票價格是40元

　　1、購進(jìn)看漲期權(quán) 100 (60-50) =1000

　　(含100股的合約)

　　放棄看漲期權(quán)

　　2、購進(jìn)50股股票 50 60 = 3000

　　借貸2994元 -1835 (1+9%) =-2000

　　策略2的合計 1000

　　50 40 = 2000

　　-1835 (1+9%) =-2000

　　0

　　由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲期權(quán)合約的價值C= 元。

　　另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。

　　策略1的凈收益=1000-C，

　　策略2的凈收益=50 (60-55 )-1835 9%(利息支出)

　　= 50 5-165=85元

　　因此看漲期權(quán)合約的價值C=1000-85=915元

　　3、

　　(1)運(yùn)用布萊克-斯科爾斯模型計算，公式如下：

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 ) t]

　　d =d -

　　公式中：S—現(xiàn)行股價, 股票價格S是37元;E—看漲期權(quán)的執(zhí)行價格, 執(zhí)行價格E是35元;r—連續(xù)無風(fēng)險收益率(年度的), 無風(fēng)險利率r是0.07; —股票的連續(xù)收益之方差(每年), 普拉斯公司的方差估計為每年0.004;t—至到期日的時間(單位：年), 我們將以年為單位表示成t=1。

　　此外，還有一個統(tǒng)計概念：N(d)即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量將小于或等于d的概率。

　　利用上述五個參數(shù)，我們分三個步驟計算期權(quán)的布萊克-斯科爾斯值：

　　步驟1：計算d 和d 。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有:

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 ) t]

　　=[ (37/35)+(0.07+1/2 0.004) 1]

　　=(0.0556+0.072)/0.063 = 2.0254

　　d =d - = 2.0254-0.063 = 1.9624

　　步驟2：計算N(d )和N(d )。值N(d )和N(d )可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。

　　N(d )= N(2.0254)=0.9786 N(d )= N(1.9624)=0.9751

　　步驟3：計算C。我們有

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　=37 N(d )-35 e N(d )

　　=37 0.9786-35 0.9324 0.9751

　　=36.2082-31.8214

　　=4.3868元

　　(2)普拉斯公司的方差估計為每年0.0064時:

　　步驟1：計算d 和d 。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有:

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 ) t]

　　=[ (37/35)+(0.07+1/2 0.0064) 1]

　　=(0.0556+0.0732)/0.08

　　=1.61

　　d =d -

　　=1.61-0.08

　　=1.53

　　步驟2：計算N(d )和N(d )。值N(d )和N(d )可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。

　　N(d )= N(1.61)=0.9463 N(d )= N(1.53)=0.9370

　　步驟3：計算C。我們有:

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　=37 N(d )-35 e N(d )

　　=37 0.9463-35 0.9324 0.9370

　　=35.0131-30.5781

　　=4.435元

　　(3)普拉斯公司的股票價格S下跌至35元每股。

　　步驟1：計算d 和d 。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有:

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 ) t]

　　=[ (35/35)+(0.07+1/2 0.0064) 1]

　　=(0+0.0732)/0.08

　　=0.915

　　d =d -

　　=0.915-0.08

　　=0.835

　　步驟2：計算N(d )和N(d )。值N(d )和N(d )可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。

　　N(d )= N(0.915)=0.8199 N(d )= N(0.835)=0.7981

　　步驟3：計算C。我們有:

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　=35 N(d )-35 e N(d )

　　=35 0.8199-35 0.9324 0.7981

　　=28.6965-26.0452

　　=2.6513元

　　4、

　　股票價格S是27元;執(zhí)行價格E是25元;無風(fēng)險利率r是0.07;此外，距到期日的時間t可以很快算出：公式要求t以年為單位來表示，我們將120天以年為單位表示成t=120/365;金斯利公司的方差估計為每年0.0576。

　　利用上述五個參數(shù)，我們分三個步驟計算期權(quán)的布萊克-斯科爾斯值：

　　步驟1：計算d 和d 。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 )t]

　　=[ (27/25)+(0.07+1/2 0.0576) 120/365]

　　=(0.0770+0.0325)/0.1376

　　=0.7957

　　d =d -

　　=0.7957-0.1376

　　=0.6581

　　步驟2：計算N(d )和N(d )。值N(d )和N(d )可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。

　　N(d )= N(0.7957)=0.7868 N(d )= N(0.6581)=0.7448

　　步驟3：計算C。我們有

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　=27 N(d )-25 e N(d )

　　=27 0.7868-25 0.9772 0.7448

　　=21.2436-18.1955

　　=3.0481元

　　5、

　　買賣權(quán)平價關(guān)系用公式可以表述為：

　　S+p-c=Xe 既 S+p=c+Xe

　　公式中：T為期權(quán)有效期，t為有效期內(nèi)已經(jīng)過去的時間，X為股票期權(quán)的執(zhí)行價格，S為股票的現(xiàn)行價格，r為無風(fēng)險利率。它表明，具有某一確定執(zhí)行價格和到期日的歐式看漲期權(quán)的價格可根據(jù)相同執(zhí)行價格和到期日的歐式看跌期權(quán)的價值推導(dǎo)出來，反之亦然。

　　用看漲期權(quán)和看跌期權(quán)來描述公司的股東權(quán)益和負(fù)債，我們可以把上述買賣權(quán)平價關(guān)系改寫成： 公司看漲期權(quán)價值=公司價值+公司看跌期權(quán)價值-無違約債券價值

　　期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時公司價值是2.5億元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán);相應(yīng)的與之等值的策略2的合計額也應(yīng)該是0，由此我們可以計算出復(fù)制的借貸金額本金是2.044億元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為7%。具體計算見表9-3。

　　表9-3

　　初始交易

　　到期日盈利

　　若公司價值是6.5億元

　　若公司價值是2.5億元

　　1、購進(jìn)看漲期權(quán)

　　6.5億元-3億元 =3.5億元

　　放棄看漲期權(quán)

　　2、

　　購進(jìn) 0.875的公司

　　0.875 6.5億元 = 5.6875億元

　　借貸2.044元

　　-2.044億元 (1+7%) =-2.1875億元

　　策略2的合計 3.5億元

　　2.5億元 0.875=2.1875億元

　　-2.044 (1+7%)=-2.1875億元

　　0

　　由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲期權(quán)合約的價值C= 億元。

　　另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。

　　策略1的凈收益=3.5-C，

　　策略2的凈收益=(6.5-4) 0.875-2.044 7%(利息支出)

　　= 2.1875-0.143=2.044億元

　　因此看漲期權(quán)合約的價值C=3.5-2.044=1.456億元,由前可知,

　　公司的權(quán)益價值=公司看漲期權(quán)合約的價值=1.456億元

　　在得出公司看漲期權(quán)合約的價值后我們用買賣權(quán)平價關(guān)系公式計算公司看跌期權(quán)價值。

　　代入買賣權(quán)平價關(guān)系公式S+p-c=Xe 即 S+p=c+Xe 此時標(biāo)的資產(chǎn)是公司本身。

　　公式中：T為期權(quán)有效期，此時是1年;t為有效期內(nèi)已經(jīng)過去的時間,此時為0;X為公司看漲期權(quán)的執(zhí)行價格，即公司發(fā)行的債券的面值3億元;S為公司目前的價值4億元; 為無風(fēng)險利率7%。

　　求出公司看跌期權(quán)價值p=c+Xe -S

　　=1.456+ -4

　　=1.456+3 0.9324-4

　　=0.2532億元

　　公司負(fù)債的價值=公司價值-公司看漲期權(quán)價值

　　=4-1.456

　　=2.544億元

　　或者公司負(fù)債的價值=無違約債券價值-公司看跌期權(quán)價值

　　= -0.2532

　　=3 0.9324-0.2532

　　=2.544億元

　　兩者的結(jié)果是一樣的,由此也驗證了買賣權(quán)平價關(guān)系的存在。

　　6、

　　期權(quán)的有效期限為一年。假設(shè)到期日時公司價值是1億元，則策略1放棄執(zhí)行看漲期權(quán);相應(yīng)的與之等值的策略2的合計額也應(yīng)該是0，由此我們可以計算出復(fù)制的借貸金額本金是0.6676億元，而期權(quán)的有效期限為一年，借貸金額年利率為7%。具體計算見表9-4。

　　表9-4

　　初始交易

　　到期日盈利

　　若公司價值是8億元

　　若公司價值是1億元

　　1、購進(jìn)看漲期權(quán) 8億元-3億元=5億元

　　放棄看漲期權(quán)

　　2、

　　購進(jìn) 5/7的公司

　　5/7 8億元= 40/7億元

　　借貸0.6676億元

　　-0.6676億元 (1+7%) =-5/7億元

　　策略2的合計 5億元

　　1億元 5/7=5/7億元

　　-0.6676 (1+7%)=-5/7億元

　　0

　　由于采取的是復(fù)制資產(chǎn)組合，且絕無套利可能，因此兩個策略有相同的成本，得出看漲期權(quán)合約的價值C= 億元。

　　另外一種計算方法從兩策略的凈收益相同出發(fā)。

　　策略1的凈收益=5-C，

　　策略2的凈收益=(8-4) 5/7-0.6676 7%(利息支出)

　　= 2.8571-0.0467=2.8104億元

　　因此看漲期權(quán)合約的價值C=5-2.8104=2.1896億元(兩者的微小差異是由于計算中的四舍五入引起的)。

　　由前可知,公司的權(quán)益價值=公司看漲期權(quán)合約的價值=2.1895億元

　　在得出公司看漲期權(quán)合約的價值后我們用買賣權(quán)平價關(guān)系公式計算公司看跌期權(quán)價值。

　　代入買賣權(quán)平價關(guān)系公式S+p-c=Xe 即 S+p=c+Xe 此時標(biāo)的資產(chǎn)是公司本身。

　　公式中：T為期權(quán)有效期，此時是1年;t為有效期內(nèi)已經(jīng)過去的時間,此時為0;X為公司看漲期權(quán)的執(zhí)行價格，即公司發(fā)行的債券的面值3億元;S為公司目前的價值4億元; 為無風(fēng)險利率7%。

　　求出公司看跌期權(quán)價值p=c+Xe -S

　　=2.1895+ -4

　　=2.1895+3 0.9324-4

　　=0.9867億元

　　公司負(fù)債的價值 = 公司價值-公司看漲期權(quán)價值 = 4-2.1895 = 1.8105億元

　　或者公司負(fù)債的價值 = 無違約債券價值-公司看跌期權(quán)價值

　　= -0.9867

　　=3 0.9324-0.9867

　　=1.8105億元

　　兩者的結(jié)果是一樣的,由此也驗證了買賣權(quán)平價關(guān)系的存在。

　　分析前面的計算結(jié)果，我們明顯地發(fā)現(xiàn)當(dāng)公司選擇風(fēng)險大的項目時，公司的權(quán)益價值增加了，從1.456億元增加到了2.1896億元;而公司負(fù)債的價值從2.544億元下降到了1.8105億元，因此債權(quán)人更喜歡風(fēng)險小的第五題中的項目。(即項目成功公司價值變成6.5億元,如果項目失敗公司價值變成2.5億元的項目)

　　7、

　　(1)采用貼現(xiàn)現(xiàn)金流方法，股權(quán)資本成本 為12%，預(yù)期增長率g為5%(此處把收入增長率近似看成股權(quán)現(xiàn)金流量的增長率)。由于公司發(fā)行的是5億元的零息票債券，因此沒有利息支出。

　　因而股權(quán)現(xiàn)金流量CFE= =4 (1-40%)=2.4億元

　　代入股權(quán)價值評估中的一階段模型公式計算股權(quán)資本價值。

　　股權(quán)資本價值= 億元

　　(2)采用期權(quán)定價方法，由于公司的股權(quán)資本成本為12%，加權(quán)資本成本為10%，公司的債務(wù)資本為零(因為發(fā)行的是零息票債券)。由計算公司加權(quán)資本成本的公式，即公司加權(quán)資本成本=公司的股權(quán)資本成本E /(D+E)+公司的債務(wù)資本 D/(D+E)，而公司的負(fù)債為5億元可以得出公司目前的賬面資產(chǎn)價值為30億元，公司的股權(quán)資本的賬面價值為25億元。

　　運(yùn)用布萊克-斯科爾斯模型計算，公式如下：

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 ) t]

　　d =d -

　　公式中：公司目前資產(chǎn)的價值S是30億元;執(zhí)行價格E即零息票債券的面值，此處為5億元;無風(fēng)險利率r是與期權(quán)期限相同的國庫券利率0.05;距到期日的時間t為零息票債券的剩余期限，公式要求t以年為單位來表示，我們將以年為單位表示成t=5;公司的價值波動的年標(biāo)準(zhǔn)差為0.125，因而 即公司的連續(xù)收益之方差為0.015625。

　　利用上述五個參數(shù)，我們分三個步驟計算期權(quán)的布萊克-斯科爾斯值：

　　步驟1：計算d 和d 。我們可以將參數(shù)值直接代入基本公式來確定這兩個值。我們有

　　d =[ (S/E)+(r+1/2 ) t]

　　=[ (30/5)+(0.05+1/2 0.015625) 5]

　　=(1.7918+0.2891)/0.2795

　　=7.4449

　　d =d -

　　=7.4449-0.2795

　　=7.1654

　　步驟2：計算N(d )和N(d )。值N(d )和N(d )可以通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表得出。

　　N(d )= N(7.4449)=1

　　N(d )= N(7.1654)=1

　　步驟3：計算C。我們有

　　C=SN(d )-Ee N(d )

　　=30 N(d )-5 e N(d )

　　=30 1-5 0.7788 1

　　=26.106億元