自考《初中數學學科基礎》章節(jié)習題：第6章

　　第六章：

　　1.談一談你對數學抽象層次性的理解。

　　大體上分為三個層次：(1)把握事物的本質，把繁雜問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達，我們稱其為簡約階段。(2)去掉具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物在內的一類事物，我們稱其為符號階段。(3)通過假設和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，我們稱其為普適階段。

　　2.如何理解圖形與圖形關系的抽象?

　　對數學圖形的認識和理解，應當注意把各種數量關系、圖形的獲得或抽象過程告訴學生，而不是僅僅把結果告訴學生。就幾何圖形而言，正是現實生活中的直線、三角形、圓等幾何圖形才構成了初等幾何的數學抽象模式。如果脫離現實中的幾何對象抽象成模型的過程，初等幾何就變成純粹的邏輯推理，從而失去了與現實聯系的渠道。

　　在中小學數學教學中，我們運用數學方法把具體問題抽象為數學問題。在這一過程中，我們要善于突出數學數量抽象模式與圖形抽象模式的交互作用，運用直觀、形象的數學模型來輔助學生理解數學、運用數學的抽象能力。

　　在教學中還應當強調的一點是，要盡量利用具有直觀、形象作用的數學模型。尤其是幾何圖形的應用，它可以幫助低年齡的學生很快地接受一些抽象性的數學概念。在中小學的不同年齡段，對不同數學模型的抽象能力有很大差異。如何運用這種差異不斷有意識地強化數學模型的抽象程度，這也是教師在教學中應當注意的問題。

　　3.簡述中小學數學常見數學模型的抽象。

　　(一)經濟數學模型的抽象:在人類的生產生活中，有許多實際問題可以用初等數學來解決，對這些具體問題的抽象處理就形成了許多有關這些方面的數學模型。這些問題主要表現在工程進度、人口增長、收入變等方面。這些問題運用的數學工具大多是代數方程、指數函數以及其它相關的函數概念。這一類的數學模型在現實生活中隨處可見，中小學的數學教學應以這些為例深入淺出地抽象、構造及運用這些模型。

　　(二)運動數學模型的抽象:一些事物在運動中表現出速度、加速度、時間、距離之間的關系，這類問題構成了帶有運動特征的數學模型。這些問題一般可以用抽象的代數方程、二次函數等方面的數學方法給予解決。在中小學數學中，一些追擊問題、行程問題都是這方面的典型代表。在行程問題的路程、時間、速度三個因素中，如果路程固定，則時間隨速度變化。同樣的，如果時間固定，則路程隨速度變化，如此等等。在這里，如果按照應用題方式解題是一種傳統(tǒng)的教學形式。如果在學習了這種抽象成數學模型的解題方法之后，創(chuàng)設情景，讓學生自己把生活中的具體問題構成一個行程、工程等方面的比例問題，那就會使學生體會到數學學習的樂趣，也會使他們增長信心，這樣的數學教學效果才是我們素質教育中所要求的。

　　(三)邏輯程序數學模型的抽象: 從邏輯程序模型的意義上說，我們的數學教育不僅僅是把推理過程表述出來，而是要把它抽象成一種可以獨立構建的邏輯程序模型。此時我們的要求不是從幾何的角度，而是從邏輯程序的自身角度來看待問題。這樣我們在處理數學問題時，就不僅是從具體數學問題層次，而是從數學問題解決的邏輯程度的層次來考慮數學問題的解決，這也是中國古代數學最為值得驕傲的傳統(tǒng)。

　　對于中小學及初等數學中的數學模型抽象方法和問題，我們還可找出一些，上面提到的常見問題只是中小學數學中出現的比較多的類型。我們在實際教學中可以根據數學模型抽象方法選擇一些具體的問題進行數學模型的抽象教學研究�？紤]到素質教育的深入開展，應當格外注意中小學數學與實際生活相聯的數學模型抽象問題的教學，把學生從公式、定理的邏輯推演引向注重利用抽象的數學去解決具體問題。

　　4.結合初中教學實際談一談你對數學抽象的理解。

　　數學抽象的教學應當直接指向學生在與數學相關問題上的一般思維水平方面的發(fā)展。事實上，義務教育階段的數學教育是一種公民教育，它給學生帶去的絕不僅僅是會解更多的數學題了。這些學生的未來會遇到不同的挑戰(zhàn)——一些人需要學習或研究更多的數學，對他們而言，是否能夠“思考數學”非常重要;另一些人(他們是受教育的學生中的絕大多數)就業(yè)以后基本上不需要解純粹的數學題(除了參加數學考試)，對他們而言，“思考數學”是一種需要，但更多的或許是能夠進行“數學的思考”，即在面臨各種問題情境(特別是非數學問題)時，能夠從數學的角度去思考問題、能夠發(fā)現其中所存在的數學現象、并將之抽象為數學問題，運用數學的知識與方法去解決問題。對所有的未來公民來說，抽象思維和形象思維水平，歸納推理與演繹推理能力等都是不可缺少的。