題目

　　在△ABC中，∠ABC=90°，AB:BC=n，M是BC上一點，連接AM

　　(1)如圖1，若n=1，N是AB延長線上一點，CN與AM垂直，求證：BM=BN;

　　(2)過點B作BP⊥AM，P為垂足，連接CP并延長交AB于Q

　�、偃鐖D2，若n=1，求證：CP:PQ=BM:BQ

　�、谌鐖D3，若M是BC中點，直接寫出tan∠BPQ的值(用含n的式子表示)

　　解析

　　(1)如果是八年級學生剛剛學完全等三角形的判定，看這道題會感覺無比親切，當n=1時，AB=BC，再加上∠ABM=∠CBN=90°，全等二缺一，考慮到AM與CN的垂直關系，只需要延長AM交CN于點D，便可完成剩下條件的證明，如下圖：

　　很容易得到△ABM≌△CBN，于是BM=BN;

　　(2)前一小題的全等三角形，在恰好時機，能讓它們重現(xiàn)，當然，略有區(qū)別。

　�、僖廊挥衝=1，因此仍然會有AB=BC，不妨將前一小題中的全等三角形構造出來，用不同的思路，延長AB至N，使BN=BM，連接CN，延長AM交CN于點D，怎么樣?熟悉的圖形又回來了吧?

　　根據(jù)輔助線作法，BM=BN，再加上AB=BC，∠ABM=∠CBN=90°，于是仍然可證△ABM≌△CBN，所以∠BAM=∠BCN，而∠BCN+∠N=90°，所以∠BAM+∠N=90°，從而可以證明AD⊥CN，看看能發(fā)現(xiàn)什么?

　　根據(jù)BP⊥AM，我們可得到BP∥CN，本小題求證的結論是一個比例式，而此時居然出現(xiàn)了平行線，正好可采用平行線分線段成比例定理，得到CP:PQ=BN:BQ，最后將其中的BN換成BM即可，得到CP:PQ=BM:BQ;

　�、谠趪L到了甜頭之后，最后一小題中，是否也能采用以上的基本方法呢?n≠1，大不了將前面的全等換成相似嘛!

　　而求三角函數(shù)值，最佳途徑是構造直角三角形，注意到BP⊥AM這個條件，結合M點是中點，不妨用倍長中線法，延長PM至點D，使PM=DM，連接CD并延長，交AB延長線于點N，如下圖：

　　既然采用倍長中線法，那么首先便可得到△BPM≌△CDM，所以∠CDM=∠BPM=90°，我們再一次得到BP∥CN，∠BPQ=∠DCP，而同時求三角函數(shù)所需要的直角三角形也構造成功，是Rt△CDP，我們只需要表示出DP和CD的長即可。

　　觀察圖中的所有直角三角形，我們可發(fā)現(xiàn)，Rt△ABM、Rt△CBN、Rt△DCM均彼此相似，我們只需要利用好它們之間的比例關系，由Rt△ABM∽Rt△CBN，我們可以得到AB:BC=BM:BN=n，不妨設BC=x，于是AB=nx，而BM=x/2，所以可表示出BN=x/2n，在Rt△CBN中，利用勾股定理表示出CN，再來推導CD和DP的長，如下圖：

　　解題反思

　　從第一小題的全等，到第二小題的全等，再到第三小題的相似，全部是基本圖形，全部是常規(guī)方法，解完后再回過頭看這三幅圖的輔助線，仿佛一個模子出來，正所謂以不變應萬變。而思維慣勢，在這道壓軸題的解題過程中，成為了助力。旋轉90°的兩個直角三角形，八字形三角形，倍長中線法，平行線分線段成比例，在直角三角形中求三角函數(shù)值，勾股定理，相似比一定的相似三角形等常規(guī)常法，以一種非常和諧的形式融合到了一起�？瓷先�，和課本例題差不多，實際上也差不多，第一次構造出全等三角形和第二次構造，證明方法不同，前面的條件在后一小題中成為結論，這些對學生的深入理解能力提出了較高要求。

　　都是基本功，但內功深厚，使將出來，威力自然不可同日而語。