2019年初二數(shù)學(xué)幾何證明例題精講

　　【例1】.已知：如圖6，△、△分別是以、為斜邊的直角三角形，且，△是等邊三角形.求證：△是等邊三角形.

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　　證明：∵∠BCE=90°∠ACD=90° 在△ECB和△ACD中

　　∠BCE=∠BCA+∠ACE BE=AD

　　∠ACD=∠ACE+∠ECD ∠BCE=∠ACD

　　∴∠ACB=∠ECD EC=CD

　　∵△ECD為等邊三角形 ∴△ECB≌△DCA( HL )

　　∴∠ECD=60° CD=EC ∴BC=AC

　　即ACB==60° ∵∠ACB=60°

　　∴△是等邊三角形

　　【例2】、如圖，已知BC > AB，AD=DC。BD平分∠ABC。求證：∠A+∠C=180°.

　　證明：在BC上截取BE=BA,連接DE, ∴∠A=∠BED AD= DE

　　∵BD平分∠BAC ∵AD=DC

　　∴∠ABD = ∠EBD ∴DE=DC

　　在△ABD和△EBD中 得 ∠DEC=∠C

　　AB=EB ∵∠BED+∠DEC=180°

　　∠ABD = ∠EBD ∴∠A+∠C=180°

　　BD=BD

　　△ABD ≌ △EBD(SAS)

　　1、線段的數(shù)量關(guān)系: 通過(guò)添加輔助線構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等。

　　①倍長(zhǎng)中線

　　【例. 3】如圖，已知在△中，，，平分，交于點(diǎn).

　　求證：

　　證明：延長(zhǎng)DC到E，使得CE=CD,聯(lián)結(jié)AE ∵∠ADE=60° AD=AE

　　∵∠C=90° ∴△ADE為等邊三角形

　　∴AC⊥CD ∴AD=DE

　　∵CD=CE ∵DB=DA

　　∴AD=AE ∴BD=DE

　　∵∠B=30°∠C=90° ∴BD=2DC

　　∴∠BAC=60°

　　∵AD平分∠BAC

　　∴∠BAD=30°

　　∴DB=DA ∠ADE=60°

　　【例4.】 如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，，是的中線。求證：。

　　證明：延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F,使得EF=AE 聯(lián)結(jié)DF

　　在△ABE和△FDE中 ∴∠ADC=∠ABD+∠BDA

　　BE =DE ∵∠ABE=∠FDE

　　∠AEB=∠FED ∴∠ADC=∠ADB+∠FDE

　　AE=FE 即 ∠ADC = ∠ADF

　　∴△ABE ≌ △FDE(SAS) 在△ADF和△ADC中

　　∴AB=FD ∠ABE=∠FDE AD=AD

　　∵AB=DC ∠ADF = ∠ADC

　　∴ FD = DC DF =DC

　　∵∠ADC=∠ABD+∠BAD ∴△ ADF≌ ADC(SAS)

　　∵ ∴AF=AC

　　∴AC=2AE

　　【變式練習(xí)】、 如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.

　　證明：延長(zhǎng)AE到點(diǎn)F,使得EF=AE 聯(lián)結(jié)DF

　　在△ACE和△FDE中 ∴∠ADB=∠ACD+∠CDA

　　CE =DE ∵∠ACE=∠FDE

　　∠AEC=∠FED ∴∠ADB=∠ADC+∠FDE

　　AE=FE 即 ∠ADB = ∠ADF

　　∴△ACE ≌ △FDE(SAS) 在△ADF和△ADB中

　　∴AC=FD ∠ACE=∠FDE AD=AD

　　∵DB=AC ∠ADF = ∠ADB

　　∴DB = DF D F =DB

　　∵∠ADB=∠ACD+∠CAD ∴△ ADF≌ ADB(SAS)

　　∵ AC=DC ∴∠FAD=∠BAD

　　∴ ∠CAD=∠CDA ∴AD平分∠DAE

　　【小結(jié)】熟悉法一、法三“倍長(zhǎng)中線”的輔助線包含的基本圖形“八字型”和“倍長(zhǎng)中線”兩種基本操作方法，倍長(zhǎng)中線，或者倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過(guò)中點(diǎn)線段有很好的效果。

　　【變式練習(xí)】：如圖所示，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC=BF�！∏笞C：AE=EF。

　　證明：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使得DG=AD，聯(lián)結(jié)BD

　　在△ADC和△GDB中 ∴BG= BF

　　AD=GD ∴ ∠BFG=∠BGF

　　∠ADC=∠GDB ∵∠CAD =∠BGD

　　BD=DC ∴∠BFG= ∠CAD

　　∴△ADC ≌△GDB(SAS) ∵∠BFG=∠AFE

　　得 AC= BG ∠CAD =∠BGD ∴∠AFE=∠FAE

　　∵AC=BF ∴AE =AF

　�、�、借助角平分線造全等

　　【例5】如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD

　　證明：在AC上截取AF=AE ,聯(lián)結(jié)OF 在△AOE和△AOF中

　　在△ABC中，∠B+∠BAD+∠ACB=180° AE=AF

　　∵∠B =60 ° ∠EAO=∠FAO

　　∴∠BAD+∠ACB=120° AO = AO

　　∵AD平分∠BAC ∴△AOE ≌△AOF(ASA) 在△COD和 △COF中

　　∴∠BAC= 2∠OAC ∴∠AOE=∠AOE OE=OF ∠DCO =∠FCO

　　∵CE平分∠ACB ∵∠AOE=60° CO=CO

　　∴∠ACB= 2∠ACO ∠AOE+∠AOE+∠FOC=180° ∠DOC=∠FOC

　　∴2∠OAC+2∠ACO=120° ∠FOC=6O° ∴△COD ≌△COF(ASA)

　　∴∠OAC+∠ACO=60° ∵∠AOE=∠COD ∴OD =OF

　　∵∠AOE=∠OAC+∠ACO ∴∠COD=60° ∵OE=OF

　　∴∠AOE=60° ∴OE=OD

　　【例6】.如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證：BD=2CE.

　　證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，

　　∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

　　∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。

　　又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

　　在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

　　∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

　　【小結(jié)】解題后的思考：

　�、賍x0001_于角平行線的問(wèn)題，常用兩種輔助線;

　�、谝�(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。

　�、� 旋轉(zhuǎn)

　　【例7】正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).

　　∴∠GAE=∠FAE

　　延長(zhǎng)EB到點(diǎn)G，使得BG =BE ∠DAF+∠BAF=90°

　　先證明△ADF ≌ △ABE ∠GAB =∠FAD

　　可得到 AF =AG ∠ DAF = ∠GAB ∴∠GAF = 90°

　　∵EF =BE +DF ∴∠EAF = 45°

　　∴ EF = BE+BG =GE

　　∴△GAE ≌ △FAE

　　【例8】. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_(kāi)__90°;

　　【例9】.如圖，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE，AB=BC.(1)求證：AD=CE，AD⊥CE (2)若△DBE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到△ABC外部，其他條件不變，則(1)中結(jié)論是否仍成立?請(qǐng)證明

　　提示：∠ABC=∠DBE =90° ∴∠ECB+∠AHB=90°

　　∴∠ABC-∠DBC=∠DBE -∠DBC ∴∠ECB+∠CHF=90°

　　即∠ABD=∠CBE ∴∠HFC=90°

　　∴△ABD ≌△ CBE ∴AD⊥ CE H

　　AD=CE

　　∠BAD=∠ECB

　　∵∠BAD+∠AHB=90°

　　【例10】.如圖在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O為BC中點(diǎn). (1)寫(xiě)出O點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離關(guān)系(不要求證明) (2)如果M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng),在移動(dòng)過(guò)程中保持AN=BM,請(qǐng)判 斷△O M N的形狀,并證明你的結(jié)論.

　　聯(lián)結(jié)OA

　　則△OAC和△OABD都為等腰直角三角形

　　∴OA=0B=0C

　　△ANO ≌ △BMO(∠NOA=∠OBM)

　　可得ON=OM ∠ NOA=∠MOB

　　可得到∠NOM=∠AOB=90°

　　【例11】如圖，已知為等邊三角形，、、分別在邊、、上，且也是等邊三角形.(1)除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的;

　　(2)你所證明相等的線段，可以通過(guò)怎樣的變化相互得到?寫(xiě)出變化過(guò)程.

　　AE=BF =CD AF=BD =CE

　　等邊三角形 也是等邊三角形

　　得到∠EFD=60° ∠ABC=60°

　　∵∠AFD=∠FBD+∠FDB

　　∠AFD=∠AFE+∠EFD

　　∴∠AFE=∠BDF

　　∴△AEF ≌ △BFD

　　同理：△AEF≌ △CDE

　�、堋⒔亻L(zhǎng)補(bǔ)短

　　【例12】、如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC

　　【例13】如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;AB=AC+BD

　　【例14】如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP

　　證明：如圖(1)，過(guò)O作OD∥BC交AB于D，

　　∴∠ADO=∠ABC=180°-60°-40°=80°，

　　又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

　　∴∠ADO=∠AQO，

　　又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，

　　∴△ADO≌△AQO，

　　∴OD=OQ，AD=AQ，

　　又∵OD∥BP，

　　∴∠PBO=∠DOB，

　　又∵∠PBO=∠DBO，

　　∴∠DBO=∠DOB，

　　∴BD=OD，

　　又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，

　　∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，

　　∴∠BOP=∠BPO，

　　∴BP=OB，

　　∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

　　【例15】.如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD.

　　方法同【例5】

　　【例16】已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=AC

　　延長(zhǎng)FD至點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG

　　先證明 △FDE ≌ GDC

　　得 ∠EFD = ∠CGD FE = CG

　　，EF//AB

　　∠ EFD =∠1

　　∠CGD=∠1

　　∵∠1=∠2，

　　∴∠2=∠CGD

　　∴ AC= CG

　　∵FE = CG

　　∴EF=AC

　　【例17】 如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。

　　求 的度數(shù)。

　　先證明 △ABM ≌ △BCN (SAS)

　　可得∠CBN = ∠BAM

　　∠AQN=∠ABQ+∠BAQ

　　∵∠BAM=∠CBN

　　∴∠AQN=∠ABQ+∠CBN

　　即 ∠AQN=∠ABC = 60°

　　(4)過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

　　【例18】：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

　　證明：過(guò)E作EG//AC交BC于G，

　　則∠EGB=∠ACB，

　　又AB=AC，∴∠B=∠ACB，

　　∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

　　∴EB=EG=CF，

　　∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，

　　∴DE=DF。

　　. 【例19】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC = DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E. 求證：(1)△BFC≌△DFC;(2)AD = DE.

　　聯(lián)結(jié)BD

　　證明：∵CF平分∠BCD ∴∠ADB=∠CDB

　　∴∠BCF=∠DCF ∵DF∥AB

　　在△BCF和△DCF中 ∴∠ABD=∠BDF

　　BC=CD BF=DF

　　∠BCF=∠DCF ∴∠FDB=∠FBD

　　CF=CF ∴∠ABD=∠FBD

　　∴△BCF ≌ △DCF(SAS) 在△ABD和△EBD中

　　∴BF=DF ∠ABD=∠EBD

　　(2) ∵AD∥BC BD=BD

　　∴∠ADB =∠CBD ∠ADB=∠EDB

　　∵BC = DC ∴△ABD ≌ △EBD (ASA)

　　∠CBD=∠CDB ∴AD = DE

　　【課堂練習(xí)】

　　1.如圖，已知AE平分∠BAC，BE上AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= 126°

　　延長(zhǎng)AE交AC于F

　　2.如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：(1)AM=AN;(2)AM⊥AN。

　　【試卷上面的已講】

　　綜合題：

　　已知在△ABC中，，高所在的直線與高所在的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥，交直線于點(diǎn),聯(lián)結(jié).(1)當(dāng)△是銳角三角形時(shí)(如圖a所示)， 求證：;

　　(2)當(dāng)是鈍角時(shí)(如圖b所示)，①寫(xiě)出線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫(xiě)出證明過(guò)程，直接寫(xiě)結(jié)論; ②當(dāng),時(shí)，求的長(zhǎng).

　　可知 △FDC和△AFG都為等腰直角三角形 圖(b)中

　　∴FD=DC AF =FG △ABD和△AFG都為等腰直角三角形

　　∵AD=AF+FD △ADC ≌ △BDF

　　∴AD=FG+DC DC = FD

　　FD=AF +AD

　　CD=FD

　　【總結(jié)】

　　常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：

　　1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”.

　　2)遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”.

　　3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.

　　4)過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

　　5)截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目.

　　特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解