一、典型例題

　　例1(2005重慶)如圖，在△ABC中，點E在BC上，點D在AE上，已知∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE.求證：BD=CD。

　　例2(2005南充)如圖2-4-1，⊿ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB相交于點E，點F是BE的中點.(1)求證：DF是⊙O的切線.(2)若AE=14，BC=12，求BF的長.

　　例3.用剪刀將形狀如圖1所示的矩形紙片ABCD沿著直線CM剪成兩部分,其中M為AD的中點.用這兩部分紙片可以拼成一些新圖形,例如圖2中的Rt△BCE就是拼成的一個圖形.

　　(1)用這兩部分紙片除了可以拼成圖2中的Rt△BCE外,還可以拼成一些四邊形.請你試一試,把拼好的四邊形分別畫在圖3、圖4的虛框內(nèi).

　　(2)若利用這兩部分紙片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,設(shè)原矩形紙片中的邊AB和BC的長分別為a厘米、b厘米,且a、b恰好是關(guān)于x的方程的兩個實數(shù)根,試求出原矩形紙片的面積.

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　　二、強化訓(xùn)練

　　練習(xí)一：填空題

　　1.一個三角形的兩條邊長分別為9和2，第三邊長為奇數(shù)，則第三邊長為 .

　　2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分線,則∠AOC = ___ .

　　3.直角三角形兩直角邊的長分別為5cm和12cm，則斜邊上的中線長為

　　4.等腰Rt△ABC, 斜邊AB與斜邊上的高的和是12厘米, 則斜邊AB= 厘米.

　　5.已知：如圖△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 則∠EDF的度數(shù)為________.

　　6.點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，若平行四邊行ABCD的面積為8cm，則△AOB的面積為 .

　　7.如果圓的半徑R增加10% , 則圓的面積增加_________ .

　　8.梯形上底長為2，中位線長為5，則梯形的下底長為 .

　　9. △ABC三邊長分別為3、4、5，與其相似的△A′B′C′的最大邊長是10，則△A′B′C′的面積是 .

　　10.在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于 .

　　練習(xí)二：選擇題

　　1.一個角的余角和它的補角互為補角，則這個角等于 [ ]

　　A.30°　 B.45°　 C.60°　　 D.75°

　　2.將一張矩形紙對折再對折(如圖)，然后沿著圖中的虛線剪下，得到①、②兩部分，將①展開后得到的平面圖形是 [ ]

　　A.矩形 B.三角形

　　C.梯形 D.菱形

　　3.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是 [ ]

　　A. B. C. D.

　　4.既是軸對稱，又是中心對稱的圖形是 [ ]

　　A.等腰三角形　　　　 B.等腰梯形

　　C.平行四邊形　　　　 D.線段

　　5.依次連結(jié)等腰梯形的各邊中點所得的四邊形是 [ ]

　　A.矩形　 B.正方形 C.菱形　 　 D.梯形

　　6.如果兩個圓的半徑分別為4cm和5cm,圓心距為1cm，那么這兩個圓的位置關(guān)系是 [ ]

　　A.相交　　 B.內(nèi)切　　 C.外切　　 D.外離

　　7.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm,那么扇形的面積為 [ ]

　　8.A.B.C三點在⊙O上的位置如圖所示，

　　若∠AOB=80°，則∠ACB等于 [ ]

　　A.160° B.80°

　　C.40° D.20°

　　9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,則∠BCF的度數(shù)是[ ]

　　A.160° B.150° C.70° D.50°

　　(第9題圖) (第10題圖)

　　10.如圖OA=OB，點C在OA上，點D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，圖中全等三角形共有 [ ]

　　A.2對　　 B.3對　　 C.4對　　　 D.5對

　　練習(xí)三：幾何作圖

　　1.下圖左邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形，要求大小與左邊四邊形不同。

　　2. 正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一條實線上;②連結(jié)三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，小華在左邊的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC，請你按照同樣的要求，在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形，并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等。

　　3.將圖中的△ABC作下列運動，畫出相應(yīng)的圖形，并指出三個頂點的坐標所發(fā)生的變化.

　　(1)沿y軸正向平移2個單位;(2)關(guān)于y軸對稱;

　　4. 如圖, 要在河邊修建一個水泵站, 分別向張村, 李村送水.修在河邊什么地 方, 可使所用的水管最短?(寫出已知, 求作, 并畫圖)

　　練習(xí)四：計算題

　　1.求值：cos45°+ tan30°sin60°.

　　2.如圖：在矩形ABCD中，兩條對角線AC、BD相交于點O，AB=4cm ,AD=cm.

　　(1)判定△AOB的形狀. (2)計算△BOC的面積.

　　3. 如圖,某廠車間的人字屋架為等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD和上弦AC的長(答案可帶根號)

　　4.如圖，折疊長方形的一邊AD，點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE的長.

　　練習(xí)五：證明題

　　1.閱讀下題及其證明過程：

　　已知：如圖，D是△ABC中BC邊上一點，EB=EC，∠ABE=∠ACE，

　　求證：∠BAE=∠CAE.

　　證明：在△AEB和△AEC中，

　　∴△AEB≌△AEC(第一步)

　　∴∠BAE=∠CAE(第二步)

　　問：上面證明過程是否正確?若正確，請寫出每一步推理根據(jù);若不正確，請指出錯在哪一步?并寫出你認為正確的推理過程;

　　2. 已知：點C.D在線段AB上，PC=PD。請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形并給予證明。所加條件為_____，你得到的一對全等三角形是△___≌△___。

　　證明：

　　3.已知：如圖 , AB=AC , ∠B=∠C.BE、DC交于O點.

　　求證：BD=CE

　　練習(xí)六：實踐與探索

　　1.用兩個全等的等邊△ABC和△ACD拼成如圖的菱形ABCD。現(xiàn)把一個含60°角的三角板與這個菱形疊合，使三角板的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合。將三角板繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)。

　　(1)當三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時(圖a)

　�、俨孪隑E與CF的數(shù)量關(guān)系是__________________;

　�、谧C明你猜想的結(jié)論。

　　(2)當三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時(圖b),連結(jié)EF，判斷△AEF的形狀，并證明你的結(jié)論。

　　2.如圖，四邊形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1;再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2……，如此進行下去得到四邊形AnBnCnDn。

　　(1)證明：四邊形A1B1C1D1是矩形;

　　·仔細探索·解決以下問題：(填空)

　　(2)四邊形A1B1C1D1的面積為____________ A2B2C2D2的面積為___________;

　　(3)四邊形AnBnCnDn的面積為____________(用含n的代數(shù)式表示);

　　(4)四邊形A5B5C5D5的周長為____________。

　　3.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是正方形，點C的坐標是(4，0)。

　　(1)直接寫出A、B兩點的坐標。A ______________ B____________

　　(2)若E是BC上一點且∠AEB=60°，沿AE折疊正方形ABCO，折疊后點B落在平面內(nèi)點F處，請畫出點F并求出它的坐標。

　　(3)若E是直線BC上任意一點，問是否存在這樣的點E，使正方形ABCO沿AE折疊后，點B恰好落在軸上的某一點P處?若存在，請寫出此時點P與點E的坐標;若不存在，請說明理由。