2018-2019學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試難題精選

　　分式：

　　一：如果abc=1,求證++=1

　　二：已知+=，則+等于多少?

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　　三：一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水。向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分。求兩根水管各自注水的速度。

　　解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x。

　　由題意得：

　　解之得：

　　經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程解。

　　∴小口徑水管速度為，大口徑水管速度為。

　　四：聯(lián)系實(shí)際編擬一道關(guān)于分式方程的應(yīng)用題。要求表述完整，條件充分并寫出解答過程。

　　解略

　　五：已知M=、N=，用“+”或“-”連結(jié)M、N,有三種不同的形式，M+N、M-N、N-M，請(qǐng)你任取其中一種進(jìn)行計(jì)算，并簡(jiǎn)求值，其中x：y=5：2。

　　解：選擇一：，

　　當(dāng)∶=5∶2時(shí)，，原式=.

　　選擇二：，

　　當(dāng)∶=5∶2時(shí)，，原式=.

　　選擇三：，

　　當(dāng)∶=5∶2時(shí)，，原式=.

　　反比例函數(shù)：

　　一：一張邊長(zhǎng)為16cm正方形的紙片，剪去兩個(gè)面積一定且一樣的小矩形得到一個(gè)“E”圖案如圖1所示.小矩形的長(zhǎng)x(cm)與寬y(cm)之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示：

　　(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

　　(2)“E”圖案的面積是多少?

　　(3)如果小矩形的長(zhǎng)是6≤x≤12cm，求小矩形寬的范圍.

　　解：(1)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

　　∵函數(shù)圖象經(jīng)過(10，2) ∴ ∴k=20， ∴

　　(2)∵ ∴xy=20， ∴

　　(3)當(dāng)x=6時(shí)，

　　當(dāng)x=12時(shí)，

　　∴小矩形的長(zhǎng)是6≤x≤12cm，小矩形寬的范圍為

　　二：是一個(gè)反比例函數(shù)圖象的一部分，點(diǎn)，是它的兩個(gè)端點(diǎn).

　　(1)求此函數(shù)的解析式，并寫出自變量的取值范圍;

　　(2)請(qǐng)你舉出一個(gè)能用本題的函數(shù)關(guān)系描述的生活實(shí)例.

　　解：(1)設(shè)，在圖象上，，即，

　　，其中;

　　(2)答案不唯一.例如：小明家離學(xué)校，每天以的速度去上學(xué)，那么小明從家去學(xué)校所需的時(shí)間.

　　三：如圖，⊙A和⊙B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于 .

　　答案：r=1

　　S=πr²=π

　　四：如圖11，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)M(-2，)，且P(，-2)為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B.

　　(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;

　　(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等?如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由;

　　(3)如圖12，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值.

　　(3)因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，

　　五：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與Y軸和X軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)8，與反比例函數(shù)y一罟在第一象限的圖象交于點(diǎn)c(1，6)、點(diǎn)D(3，x).過點(diǎn)C作CE上y軸于E，過點(diǎn)D作DF上X軸于F.

　　(1)求m，n的值;

　　(2)求直線AB的函數(shù)解析式;

　　勾股定理：

　　一：清朝康熙皇帝是我國(guó)歷史上對(duì)數(shù)學(xué)很有興趣的帝王.近日，西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學(xué)專著，其中有一文《積求勾股法》，它對(duì)“三邊長(zhǎng)為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形，已知面積求邊長(zhǎng)”這一問題提出了解法：“若所設(shè)者為積數(shù)(面積)，以積率六除之，平方開之得數(shù)，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之?dāng)?shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5的整數(shù)倍，設(shè)其面積為S，則第一步：=m;第二步：=k;第三步：分別用3、4、5乘以k，得三邊長(zhǎng)”.

　　(1)當(dāng)面積S等于150時(shí)，請(qǐng)用康熙的“積求勾股法”求出這個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng);

　　(2)你能證明“積求勾股法”的正確性嗎?請(qǐng)寫出證明過程.

　　解：(1)當(dāng)S=150時(shí)，k===5，

　　所以三邊長(zhǎng)分別為：3×5=15，4×5=20，5×5=25;

　　(2)證明：三邊為3、4、5的整數(shù)倍，

　　設(shè)為k倍，則三邊為3k，4k，5k，

　　而三角形為直角三角形且3k、4k為直角邊.

　　其面積S=(3k)·(4k)=6k2，

　　所以k2=，k=(取正值)，

　　即將面積除以6，然后開方，即可得到倍數(shù).

　　二：一張等腰三角形紙片，底邊長(zhǎng)l5cm，底邊上的高長(zhǎng)22.5cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條，如圖所示.已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是( )

　　A.第4張 B.第5張 C.第6張 D.第7張

　　答案：C

　　三：如圖，甲、乙兩樓相距20米，甲樓高20米，小明站在距甲樓10米的處目測(cè)得點(diǎn) 與甲、乙樓頂剛好在同一直線上，且A與B相距米，若小明的身高忽略不計(jì)，則乙樓的高度是 米.

　　答案：40米

　　四：恩施州自然風(fēng)光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險(xiǎn)”著稱于世.著名的恩施大峽谷和世界級(jí)自然保護(hù)區(qū)星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側(cè)，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)，向、兩景區(qū)運(yùn)送游客.小民設(shè)計(jì)了兩種方案，圖(1)是方案一的示意圖(與直線垂直，垂足為)，到、的距離之和，圖(2)是方案二的示意圖(點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，連接交直線于點(diǎn))，到、的距離之和.

　　(1)求、，并比較它們的大小;

　　(2)請(qǐng)你說明的值為最小;

　　(3)擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖(3)所示的直角坐標(biāo)系，到直線的距離為，請(qǐng)你在旁和旁各修建一服務(wù)區(qū)、，使、、、組成的四邊形的周長(zhǎng)最小.并求出這個(gè)最小值.

　　解:⑴圖10(1)中過B作BC⊥AP,垂足為C,則PC=40,又AP=10,

　　(2)如 圖10(2)，在公路上任找一點(diǎn)M,連接MA,MB,MA'，由軸對(duì)稱知MA=MA'

　　四邊形：

　　一：如圖，△ACD、△ABE、△BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.

　　(1) 當(dāng)AB≠AC時(shí)，證明四邊形ADFE為平行四邊形;

　　(2) 當(dāng)AB = AC時(shí)，順次連結(jié)A、D、F、E四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類?直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件.

　　解：(1) ∵△ABE、△BCF為等邊三角形，

　　∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°.

　　∴∠FBE = ∠CBA.

　　∴△FBE ≌△CBA.

　　∴EF = AC.

　　又∵△ADC為等邊三角形，

　　∴CD = AD = AC.

　　∴EF = AD.

　　同理可得AE = DF.

　　∴四邊形AEFD是平行四邊形.

　　(2) 構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段.

　　當(dāng)圖形為菱形時(shí)，∠ BAC≠60°(或A與F不重合、△ABC不為正三角形)

　　當(dāng)圖形為線段時(shí)，∠BAC = 60°(或A與F重合、△ABC為正三角形).

　　二：如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF。

　　(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“≌”表示，并加以證明。

　　(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。

　　(3)若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積。

　　三：如圖，在△ABC中，∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F.

　　(1)點(diǎn)D是△ABC的________心;

　　(2)求證：四邊形DECF為菱形.

　　四：在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，連接BE，且∠ABE=30°，BE=DE，連接BD.點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ∥BD交直線BE于點(diǎn)Q.

　　(1) 當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)(如圖1)，求證：BE=PD+PQ;

　　(2)若 BC=6，設(shè)PQ長(zhǎng)為x，以P、Q、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積為y，求y與 x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);

　　(3)在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接QC，過點(diǎn)P作PF⊥QC，垂足為F，PF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G(如圖2)，求線段PG的長(zhǎng)。

　　解：(1)證明：∵∠A=90° ∠ABE=30° ∠AEB=60°

　　∵EB=ED ∴∠EBD=∠EDB=30°

　　∵PQ∥BD ∴∠EQP=∠EBD ∠EPQ=∠EDB

　　∴∠EPQ=∠EQP=30° ∴EQ=EP

　　過點(diǎn)E作EM⊥OP垂足為M ∴PQ=2PM

　　∵∠EPM=30°∴PM=PE ∴PE=PQ

　　∵BE=DE=PD+PE ∴BE=PD+ PQ

　　(2)解：由題意知AE=BE ∴DE=BE=2AE

　　∵AD=BC=6 ∴AE=2 DE=BE=4

　　當(dāng)點(diǎn)P在線段ED上時(shí)(如圖1)

　　過點(diǎn)Q做QH⊥AD于點(diǎn)H QH=PQ=x

　　由(1)得PD=BE-PQ=4-x

　　∴y=PD·QH=

　　當(dāng)點(diǎn)P在線段ED的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖2)過點(diǎn)Q作QH⊥DA交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H’ ∴QH’=x

　　過點(diǎn)E作EM’⊥PQ于點(diǎn)M’ 同理可得EP=EQ=PQ ∴BE=PQ-PD

　　∴PD=x-4 y=PD·QH’=

　　(3)解：連接PC交BD于點(diǎn)N(如圖3)∵點(diǎn)P是線段ED中點(diǎn)

　　∴EP=PD=2 ∴PQ= ∵DC=AB=AE·tan60°=

　　∴PC==4 ∴cos∠DPC== ∴∠DPC=60°

　　∴∠QPC=180°-∠EPQ-∠DPC=90°

　　∵PQ∥BD ∴∠PND=∠QPC=90° ∴PN=PD=1

　　QC== ∵∠PGN=90°-∠FPC ∠PCF=90°-∠FPC

　　∴∠PCN=∠PCF……………1分 ∵∠PNG=∠QPC=90° ∴△PNG～△QPC

　　∴ ∴PG==

　　五：如圖,這是一張等腰梯形紙片,它的上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2,這樣的紙片共有5張.打算用其中的幾張來拼成較大的等腰梯形,那么你能拼出哪幾種不同的等腰梯形?分別畫出它們的示意圖,并寫出它們的周長(zhǎng).

　　解：如圖所示

　　六：已知:如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn),且EF=ED,EF⊥ED.求證:AE平分∠BAD.

　　七：如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上,BG=10.

　　(1)當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí),如圖(1).求△EFG的面積.

　　(2)當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí),如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長(zhǎng).

　　解:(1)過點(diǎn)G作GH⊥AD,則四邊形ABGH為矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由圖形的折疊可知△BFG≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°;∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF∽△EHG,∴,∴EF=5,∴S△EFG=EF·EG=×5×10=25.

　　(2)由圖形的折疊可知四邊形ABGF≌四邊形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,

　　∠BGF=∠EGF,∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,

　　∴BG=EF,∴四邊形BGEF為平行四邊形,又∵EF=EG,∴平行四邊形BGEF為菱形;

　　連結(jié)BE，BE、FG互相垂直平分，在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴BE==8，∴BO=4，∴FG=2OG=2=4。

　　八：(1)請(qǐng)用兩種不同的方法，用尺規(guī)在所給的兩個(gè)矩形中各作一個(gè)

　　不為正方形的菱形，且菱形的四個(gè)頂點(diǎn)都在矩形的邊上.(保留作圖痕跡)