2019年中考數(shù)學(xué)模擬試題：四邊形習(xí)題

　　一、選擇題

　　1. (北京4分)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若AD=1，BC=3，則的值為

　　A、 B、 C、 D、

　　【答案】B。

　　【考點(diǎn)】梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

　　【分析】根據(jù)梯形對(duì)邊平行的性質(zhì)易證△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到AO：CO的值：∵四邊形ABCD是梯形，∴AD∥CB，∴△AOD∽△COB，∴。又∵AD=1，BC=3，

　　∴。故選B。

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　　2.(天津3分)如圖.將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對(duì)角線BD上，得折痕BE、BF，則∠EBF的大小為

　　(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°

　　【答案】C。

　　【考點(diǎn)】折疊對(duì)稱，正方形的性質(zhì)。

　　【分析】根據(jù)折疊后，軸對(duì)稱的性質(zhì)，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.50，∴∠EBF=450。故選C。

　　3.(內(nèi)蒙古包頭3分)已知菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∠BAD=120°，AC=4，則該菱形的面積是

　　A.16 B.16 C.8 D.8

　　【答案】C。

　　【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理。

　　【分析】由四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AC⊥BD，OA=AC，∠BAC=∠BAD;在Rt△AOB中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)和勾股定理即可求得OB=2，從而得BD=2OB=4。根據(jù)菱形的面積等于其對(duì)角線乘積的一半，即可求得該菱形的面積。該菱形的面積是：AB•BD=×4×4=8。故選C。

　　4.(內(nèi)蒙古呼和浩特3分)下列判斷正確的有

　�、夙槾芜B接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點(diǎn)一定構(gòu)成正方形;

　�、谥行耐队暗耐队熬�彼此平行;

　�、墼谥荛L(zhǎng)為定值的扇形中，當(dāng)半徑為時(shí)扇形的面積最大;

　�、芟嗟鹊慕鞘菍�(duì)頂角的逆命題是真命題.

　　A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)

　　【答案】B。

　　【考點(diǎn)】三角形中位線性質(zhì)，正方形的判定，中心投影，弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形面積的計(jì)算，二次函數(shù)最值，命題與定理，逆命題。

　　【分析】根據(jù)相關(guān)知識(shí)逐一判斷：

　�、夙槾芜B接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點(diǎn)一定構(gòu)成正方形，此命題正確，理由如下：

　　如圖，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，得EFAC，HGAC，HEDB，GFDB。

　　由AC=BD，AC⊥BD，根據(jù)正方形的判定可知四邊形EFGH是正方形。故①正確。

　　②中心投影與原物體所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都相交于一點(diǎn)，平行投影與原物體所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都相互平行，故②錯(cuò)誤。

　�、墼谥荛L(zhǎng)為定值的扇形中，當(dāng)半徑為時(shí)扇形的面積最大，此命題正確，理由如下：

　　設(shè)a為扇形圓心角，r 為扇形半徑，s為扇形面積，則由周長(zhǎng)為定值，弧長(zhǎng)為

　　，∴。

　　由扇形面積。

　　∴根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)，得，當(dāng)r=時(shí)扇形的面積最大。故③正確。

　�、芟嗟鹊慕鞘菍�(duì)頂角的逆命題是：若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，為真命題。故④正確。

　　故選B。

　　二、填空題

　　1.(河北省3分)如圖，已知菱形ABCD，其頂點(diǎn)A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣4和1，則BC=　 ▲ .

　　【答案】5。

　　【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì);數(shù)軸。

　　【分析】根據(jù)數(shù)軸上A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣4和1，得出AB=5，再根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，得BC=AB=5。

　　2.(山西省3分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個(gè)條件 ▲ ，可使它成為矩形.

　　【答案】∠ABC=90°或AC=BD。

　　【考點(diǎn)】矩形的判定。

　　【分析】根據(jù)矩形的的判定定理：①對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，②有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，直接添加條件即可。故添加條件：∠ABC=90°或AC=BD。

　　3.(內(nèi)蒙古烏蘭察布4分)如圖，是半徑為 6 的⊙D的圓周，C點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)， △ABD是等邊三角形,則四邊形ABCD的周長(zhǎng)P的取值范圍是 ▲

　　【答案】。

　　【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理。

　　【分析】當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，不構(gòu)成四邊形，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)是18，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)P都大于它;

　　當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E重合時(shí)(如圖)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)P最大，根據(jù)勾股定理，可得BC=，此時(shí)四邊形ABCD的周長(zhǎng)P=。

　　因此，四邊形ABCD的周長(zhǎng)P的取值范圍是。

　　三、解答題

　　1.(河北省9分)如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E，K分別在BC，AB上，點(diǎn)G在BA的延長(zhǎng)線上，且CE=BK=AG.

　　(1)求證：①DE=DG; ②DE⊥DG

　　(2)尺規(guī)作圖：以線段DE，DG為邊作出正方形DEFG(要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明);

　　(3)連接(2)中的KF，猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：

　　(4)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值.

　　【答案】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°。

　　又∵CE=AG，∴△DCE≌△GDA(SAS)。∴DE=DG。

　　由△DCE≌△GDA得∠EDC=∠GDA，

　　又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE+∠GDA=90°，即∠GDE=90°。∴DE⊥DG。

　　(2)如圖.

　　(3)四邊形CEFK為平行四邊形。證明如下：

　　設(shè)CK、DE相交于M點(diǎn)，

　　∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，

　　∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG。

　　∵BK=AG，∴KG=AB=CD，

　　∴四邊形CKGD是平行四邊形�！郈K=DG=EF，CK∥DG

　　∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°�！唷螷ME+∠DEF=180°�！郈K∥EF。

　　∴四邊形CEFK為平行四邊形。

　　(4)=。

　　【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖。

　　【分析】(1)由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過等量代換證明DE⊥DG。

　　(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點(diǎn)G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點(diǎn)F，得到正方形DEFG。

　　(3)由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形。

　　(4)設(shè)CE=1，由，得CD=CB=

　　在Rt△CED中，由勾股定理，得。

　　∴。

　　2.(內(nèi)蒙古呼和浩特7分)如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，取邊AB的中點(diǎn)G，連接EG.

　　(1)求證：EG=CF;

　　(2)將△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，請(qǐng)?jiān)趫D中直接畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并指出旋轉(zhuǎn)后CF與EG的位置關(guān)系.

　　【答案】解：(1)證明：∵正方形ABCD，點(diǎn)G，E為邊AB、BC中點(diǎn)，

　　∴AG=EC，即△BEG為等腰直角三角形�！唷螦GE=180°﹣45°=135°。

　　又∵CF為正方形外角平分線，∴∠ECF=90°+45°=135°�！唷螦GE=∠ECF。

　　∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF。

　　∴△AGE≌△ECF(ASA)。

　　∴EG=CF。

　　(2)畫圖如圖所示：

　　旋轉(zhuǎn)后CF與EG平行。

　　【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行的判定。

　　【分析】(1)G、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，則∠AGE=180°﹣45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余關(guān)系，得∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，可證△AGE≌△ECF，從而得出結(jié)論。

　　(2)旋轉(zhuǎn)后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可判斷旋轉(zhuǎn)后CF與EG平行。

　　3.(內(nèi)蒙古呼倫貝爾8分)如圖,四邊形ABCD中，對(duì)角

　　線相交于點(diǎn)O,E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC

　　的中點(diǎn)。

　　(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形;

　　(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足一個(gè)什么條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形?并證明你的結(jié)論。

　　【答案】解:(1)證明：∵E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)

　　∴EF∥AB ，EF=，

　　GH∥AB ， GH=AB ，

　　∴EF∥GH ，EF=GH。

　　∴EFGH是平行四邊形。

　　(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足AB=DC時(shí)， EFGH是菱形。證明如下：

　　∵ AB=DC， ∴EF=EH。

　　又∵ 四邊形EFGH是平行四邊形， ∴EFGH是菱形 。

　　【考點(diǎn)】三角形中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定。

　　【分析】(1)根據(jù)三角形中位線平行且等于第三邊一半的性質(zhì)，可得四邊形EFGH的對(duì)邊EF和GH平行且相等，從而根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定而得證。

　　(2)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定可證。