B級(jí)　中等題

　　7.已知△ABC，且∠ACB=90°.

　　(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按要求作圖(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明).

　�、僖渣c(diǎn)A為圓心，BC邊的長(zhǎng)為半徑作⊙A;

　�、谝渣c(diǎn)B為頂點(diǎn)，在AB邊的下方作∠ABD=∠BAC.

　　(2)請(qǐng)判斷直線BD與⊙A的位置關(guān)系(需證明).

　　8.(2013年江蘇宿遷)如圖6­3­17，在平行四邊形ABCD中，AD>AB.

　　(1)作出∠ABC的平分線(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法);

　　(2)若(1)中所作的角平分線交AD于點(diǎn)E，AF⊥BE，垂足為點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F，連接EF. w

　　求證：四邊形ABFE為菱形.

　　C級(jí)　拔尖題

　　9.(2013年山東德州)(1)如圖6­3­18(1)，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE.連接BE，CD.請(qǐng)你完成圖形，并證明：BE=CD(尺規(guī)作圖，不寫(xiě)做法，保留作圖痕跡);

　　(2)如圖6­3­18(2)，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE.連接BE，CD.BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡(jiǎn)單說(shuō)明理由;

　　(3)運(yùn)用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

　　如圖6­3­18(3)，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長(zhǎng).

　　(1)　　　　 (2) 　　　　 (3)

　　參考答案

　　7.解：(1)如圖50.

　　(2)直線BD與⊙A相切.證明如下：

　　∵∠ABD=∠BAC，∴AC∥BD.

　　∵∠ACB=90°，⊙A的半徑等于BC，

　　∴點(diǎn)A到直線BD的距離等于BC.

　　∴直線BD與⊙A相切.

　　8.解：(1)如圖51.

　　(2)∵BE平分∠ABC，∴∠ABO=∠FBO.

　　∵AF⊥BE于點(diǎn)O，

　　∴∠AOB=∠FOB=∠AOE=90°.

　　又∵BO=BO，

　　∴△AOB≌△FOB.∴AO=FO，AB=FB.

　　∵四邊形ABCD是平行四邊形，

　　∴AD∥BC，∴∠AEO=∠FBO.

　　∴△AOE≌△FOB.∴AE=BF.

　　又∵AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.

　　又∵AB=FB，∴平行四邊形ABFE是菱形.

　　11.(1)證明：如圖52.

　　∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

　　∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°.

　　∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC.

　　即∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.

　　∴BE=CD.

　　圖52 　　　圖53

　　(2)解：BE=CD.

　　理由：∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

　　∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°.

　　∴∠CAD=∠EAB.∴△CAD≌△EAB.

　　∴BE=CD.

　　(3)解：如圖53，過(guò)A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，

　　則AD=AB=100，∠ABD=45°.∴BD=100 2.

　　連接CD，則由(2)可知BE=CD.

　　∵∠ABC=45°，在Rt△DBC中，BC=100，BD=100 2.

　　∴CD=1002+100 22=100 3.

　　∴BE的長(zhǎng)為100 3米.