A級(jí)　基礎(chǔ)題

　　1.下列各組線段(單位：cm)中，是成比例線段的為(　　)

　　A.1,2,3,4 B.1,2,2,4 C.3,5,9,13 D.1,2,2,3

　　2.(2013年北京)如圖6­4­14，為估算某河的寬度，在河對(duì)岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點(diǎn)E在BC上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上.若測(cè)得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，則河的寬度AB=(　　)

　　A. 60 m B. 40 m C. 30 m D. 20 m

　　圖6­4­14 　　　　　　圖6­4­15

　　3.(2013年上海)如圖6­4­15，已知在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB=(　　)

　　A. 5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.2∶5

　　4.若兩個(gè)相似三角形的面積之比為1∶16，則它們的周長(zhǎng)之比為(　　)

　　A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶16

　　5.(2013年江蘇無(wú)錫)如圖6­4­16，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC，BD相交于O，AD=1，BC=4，則△AOD與△BOC的面積之比等于(　　)

　　A.12 B.14 C.18 D.116

　　圖6­4­16　　　　圖6­4­17

　　6.(2013年山東威海)如圖6­4­17，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分線OD交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D，連接BD.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　)

　　A.∠C=2∠A B.BD平分∠ABC

　　C.S△BCD=S△BOD D.點(diǎn)D為線段AC的黃金分割點(diǎn)

　　7.下列說(shuō)法中：①所有的等腰三角形都相似;②所有的正三角形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的矩形都相似.其中說(shuō)法正確的序號(hào)是________________.

　　8.(2013年四川雅安)如圖6­4­18, 在▱ABCD，E在AB上，CE，DB交于F，若AE∶BE=4∶3，且BF=2，則DF=________.

　　圖6­4­18　　　　　　圖6­4­19

　　9.(2013年江蘇泰州)如圖6­4­19，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(3,0)，(2，-3)，△AB′O′是△ABO關(guān)于點(diǎn)A的位似圖形，且O′的坐標(biāo)為(-1,0)，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為_(kāi)_______.

　　10.(2012年湖南株洲)如圖6­4­20，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對(duì)折，使A，C重合，直線MN交AC于點(diǎn)O.

　　(1)求證：△COM∽△CBA;

　　(2)求線段OM的長(zhǎng)度.

　　B級(jí)　中等題

　　11.(2013年山東淄博)在△ABC中，P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P異于A，B)，過(guò)點(diǎn)P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱(chēng)這種直線為過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線.如圖6­4­21，∠A=36°，AB=AC，當(dāng)點(diǎn)P在AC的垂直平分線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有__________條.

　　圖6­4­21

　　12.如圖6­4­22，大江的同一側(cè)有A，B兩個(gè)工廠，它們都有垂直于江邊的小路，AD，BE的長(zhǎng)度分別為3千米和2千米，且兩條小路之間的距離為5千米.現(xiàn)要在江邊建一個(gè)供水站向A，B兩廠送水，欲使供水管路最短，則供水站應(yīng)建在距E處多遠(yuǎn)的位置?

　　13.(2012年湖南株洲)如圖6­4­23，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.點(diǎn)M在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒;同時(shí)點(diǎn)N在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

　　(1)當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM;

　　(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大?并求出這個(gè)最大值.

　　圖6­4­23

　　C級(jí)　拔尖題

　　14.(2013年山東濱州)某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖6­4­24.其中BA=CD，BC=20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40 cm,8 cm，為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50 cm，那么橫梁EF應(yīng)為多長(zhǎng)(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計(jì))?

　　圖形的相似

　　1.B　2.B　3.A　4.B　5.D　6.C　7.②③

　　8.143　解析：AB∥CD⇒△BEF∽△DCF⇒BECD=BFDF，又∵AEBE=43，∴BEAB=37，即BECD=37，則有37=2DF，DF=143.

　　9.53，-4

　　10.(1)證明：∵A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，

　　∴AC⊥MN.∴∠COM=90°.

　　在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.

　　又∵∠ACB=∠MCO，

　　∴△COM∽△CBA.

　　(2)解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

　　∴AC=10，∴OC=5.

　　∵△COM∽△CBA，

　　∴OCCB=OMAB，OM=154.

　　11.3

　　12.解：如圖55，作出點(diǎn)B關(guān)于江邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接AC，則BF+FA=CF+FA=CA.

　　根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)供水站在點(diǎn)F處時(shí)，供水管路最短.

　　∵△ADF∽△CEF，

　　∴設(shè)EF=x，則FD=5-x，

　　根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得

　　EFFD=CEAD，即x5-x=23，解得x=2.

　　故供水站應(yīng)建在距E點(diǎn)2千米處.

　　圖55

　　13.解：(1)由題意，得AM=12-t，AN=2t.

　　∵∠AMN=∠ANM，

　　∴AM=AN，從而12-t=2t，

　　解得t=4秒.

　　∴當(dāng)t為4秒時(shí)，∠AMN=∠ANM.

　　(2)如圖56，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥AC于點(diǎn)H，

　　∴∠NHA=∠C=90°.

　　∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA.

　　∴ANAB=NHBC，即2t13=NH5，∴NH=10t13.

　　從而有S△AMN=12(12-t)•10t13=-513t2+6013t，

　　∴當(dāng)t=6時(shí)，S有最大值為18013.

　　圖56 　　　　圖57

　　14.解：如圖57，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于Q，P.