多邊形的面積和面積變換

　　本講在初二幾何范圍內(nèi)，通過實例對平面圖形的面積和用面積變換解幾何題作些簡單介紹.所用知識不多，簡列如下：

　　(1) 全等形的面積相等;

　　(2) 多邊形的面積定理(三角形、梯形等，略);

　　(3) 等底等高的三角形，平行四邊形，梯形的面積相等(對梯形底相等應(yīng)理解為兩底和相等);

　　(4) 等底(等高)的三角形，平行四邊形，梯形的面積比等于這底上的高(這高對應(yīng)的底)的比.

　　以下約定以△ABC同時表示△ABC的面積.

　　1. 多邊形的面積

　　例1 (第34屆美國中學數(shù)學競賽題)在圖23-1的平面圖形中，邊AF與CD平行，BC與ED平行，各邊長為1，且∠FAB=∠BCD= ，該圖形的面積是( )

　　(A) (B)1 (C) (D) (E)2

　　分析 將這個圖形分解為若干個基本圖形——三角形，連BF、BE、BD得四個與△ABF全等的正三角形，進一步計算可得圖形面積為 .所以選(D).

　　例2 (第5屆美國數(shù)學邀請賽試題)如圖23-2五條線段把矩形ABCD分成了面積相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，則AB的長度等于_________.

　　分析 如圖,延長PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ與梯形PQYX面積相等,故E、F分別為AD、CB的中點.

　　而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，設(shè)為e.

　　由SAXPWD=SPQZW 得

　　∴2e=106，

　　∴AB=2e+87=193.

　　例3.如圖23-3四邊形ABCD的兩邊BA和CD相交于G，E、F各為BD、AC的中點.試證：△EFG的面積等于四邊形ABCD面積的四分之一.

　　分析 注意到E、F各為BD、AC的中點，連結(jié)EA、EC和FD.則

　　如果能夠證明△EFG的面積等于四邊形AEFD的面積，問題即可解決.為此，取AD的中點P，連PE、PF，則PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，問題得解.證明略.

　　2. 利用面積變換解幾何題

　　先看一個例子.

　　例4.以直角三角形ABC的兩直角邊AC、BC為一邊各向外側(cè)作正方形ACDE、BCGH，連結(jié)BE、AH分別交AC、BC于P、Q.求證:CP=CQ.

　　證明 (如圖23-4)顯然S△GCQ=S△HCQ，

　　∵HB∥AG，

　　∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.

　　同理,S△BDP=S△ABC.

　　∴S△AGQ=S△BDP,

　　∴CQ·AG=CP·BD.

　　∵AG=AC+GC

　　=DC+BC=BD，

　　∴CP=CQ.

　　此例是關(guān)于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關(guān)，然而我們卻利用圖形之間面積的等量關(guān)系達到了證明的目的.這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關(guān)系入手來研究圖形的度量關(guān)系和位置關(guān)系的方法即所謂面積變換.

　　例5 (第37屆美國中學數(shù)學競賽題)圖23-5中,ABCDE是正五邊形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延長線上所引的垂線.設(shè)O是正五邊形的中心,若OP=1,則AO+AQ+AR等于( ).

　　(A)3 (B)1+ (C)4 (D)2+ (E)5

　　分析 因題設(shè)中AP、AQ、AR分別與CD、CB、DE垂直，這就便于利用面積作媒介.注意到

　　即 由CD=BC=DE，

　　則AP+AQ+AR=5·OP

　　故AO+AQ+AR=4.應(yīng)選(C).

　　例6 (第37屆美國中學數(shù)學競賽題)不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12.若第三條高也為整數(shù)，那么它的長度最大可能是( ).

　　(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

　　(E)不同于(A)-(D)的答案

　　解 設(shè)△ABC第三邊上的高為h，面積為S，則該三角形的三邊可表示為 顯見 > .據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”有 + > ， + > .

　　解得3

　　例7 圖23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜邊，在射線AC、BC上各取一點 、 ，使 P、Q是△ABC內(nèi)兩點，如果P，Q到△ABC各邊的距離之和相等，則PQ∥ ;反之亦然.

　　證明 設(shè)P、Q到△ABC各邊的距離之和分別為S(P)，S(Q).連PA、PB、P 、P ，不難發(fā)現(xiàn)△APB+△AP +△ PB-△ P =△ABC-△ C(定值).

　　于是

　　= 同理， 顯然，當S(P)=S(Q)時， ，

　　∴PQ∥ 反之，當PQ∥ 時， ∴S(P)=S(Q).