數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練題四答案

　　一、選擇題

　　1.設(shè)函數(shù) 如果 那么 的值等于( )

　　A.3 B.7 C.-3 D.-7

　　解：取 ，而當(dāng) ，所以 ，故選C.

　　2.已知P為四面體S-ABC的側(cè)面SBC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與頂點(diǎn)S的距離等于點(diǎn)P到底面ABC的距離，那么在側(cè)面SBC內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是某曲線的一部分，則該曲線是( )

　　A.圓或橢圓 B.橢圓或雙曲線 C.雙曲線或拋物線 D.拋物線或橢圓

　　解：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成動(dòng)點(diǎn)P到S的距離與它到邊BC的距離比值問(wèn)題，容易的出答案D

　　3.給定數(shù)列{xn}，x1=1，且xn+1= ，則 =( )

　　A，1 B.-1 C.2+ D.-2+ 解：xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(α­n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故選A。

　　4.已知 ，定義 ，則 (　　　　)

　　A. B. C. D. 解：計(jì)算 可知 是最小正周期為6的函數(shù)。即得 ，所以 = ，故選C.

　　5.已知雙曲線 的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為 ,一直線交雙曲線兩支于P、Q兩點(diǎn)，交 于R,則　　(　　　　)

　　A. B.

　　C. D. 解：分別做 由相似三角形的性質(zhì)，得 ，又有雙曲線的第二定義，得 故 平分 所以選C.

　　6.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別記為a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，則△ABC( )

　　A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形

　　C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形

　　解：由log x=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A= ，而sinA>0，∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故選B。

　　二、填空題

　　7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，則|x|-|y|的最小值是_________.

　　答案： 。 由對(duì)稱性只考慮y≥0，因?yàn)閤>0，∴只須求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，這個(gè)關(guān)于y的二次方程顯然有實(shí)根，故△=16(u2-3)≥0。

　　8.如果：(1)a, b, c, d都屬于{1, 2, 3, 4}

　　(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

　　(3)a是a, b, c, d中的最小數(shù)

　　那么，可以組成的不同的四位數(shù)abcd的個(gè)數(shù)是________.

　　答案：46個(gè)。abcd中恰有2個(gè)不同數(shù)字時(shí)，能組成C =6個(gè)不同的數(shù)。abcd中恰有3個(gè)不同數(shù)字時(shí)，能組成 =16個(gè)不同數(shù)。abcd中恰有4個(gè)不同數(shù)字時(shí)，能組成A =24個(gè)不同數(shù)，所以符合要求的數(shù)共有6+16+24=46個(gè)。

　　9.設(shè) 則關(guān)于 的方程 的所有實(shí)數(shù)解之和為

　　答案：4解：令 變形為 可以發(fā)現(xiàn)函數(shù) 是R上的減函數(shù)。又因?yàn)?，從而關(guān)于 的方程 的解分別為0、1、3，

　　10.若對(duì)|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，則t的取值范圍是_______________.

　　答案： 。解：①若t2-4>0，即t<-2或t>2，則由 >x(|x|≤1)恒成立，得 , t+1>t2-4, t2-t-s<0解得 ，從而 -t2+4; t2+t-3>0，解得：t< 或t> ，從而

　　11.邊長(zhǎng)為整數(shù)且面積(的數(shù)值)等于周長(zhǎng)的直角三角形的個(gè)數(shù)為 。

　　解：設(shè)直角三角形的三邊為a,b, ,則有 =a+b+ , ,兩邊平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)=

　　8, a,b都是正整數(shù)， a=5時(shí)b=12;a=6時(shí)b=8，所以滿足題意的三角形有2個(gè)。

　　12.對(duì)每一實(shí)數(shù)對(duì)(x, y)，函數(shù)f(t)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，試求滿足f(a)=a的所有整數(shù)a=__________.

　　答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y為正整數(shù)時(shí)，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知對(duì)一切正整數(shù)y，f(y)>0，因此y∈N*時(shí)，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

　　下面證明：當(dāng)整數(shù)t≤-4時(shí)，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，

　　即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

　　相加得：f(t)-f(-4)>0，因?yàn)椋簍≤4，故f(t)>t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數(shù)只有t=1或t=2。

　　三、解答題：

　　13.已知a, b, c∈R+，且滿足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

　　解：因?yàn)?a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=

　　4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。

　　當(dāng)a=b=2c>0時(shí)等號(hào)成立。故k的最小值為100。

　　14.已知半徑為1的定圓⊙P的圓心P到定直線 的距離為2，Q是 上一動(dòng)點(diǎn)，⊙Q與⊙P相外切，⊙Q交 于M、N兩點(diǎn)，對(duì)于任意直徑MN，平面上恒有一定點(diǎn)A，使得∠MAN為定值。求∠MAN的度數(shù)。

　　解：以 為x軸，點(diǎn)P到 的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Q的坐標(biāo)為(x, 0)，點(diǎn)A(k, λ)，⊙Q的半徑為r，則：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，兩邊平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(當(dāng)Q(0, 0), r=1時(shí)∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。