數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題三答案

　　一、選擇題

　　1.由遞推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，則{an-1}是以8為首項，公比為- 的等比數(shù)列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= =6-6×(- )n，∴|Sn-n-6|=6×( )n< ，得：3n-1>250，∴滿足條件的最小整數(shù)n=7，故選C。

　　2.設(shè)正三棱錐P-ABC中，各側(cè)棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則VS-PQR= S△PQR·h= PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，記O到各面的距離為d，則VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,

　　S△PQR·d= S△PRS·d+ S△PRS·d+ S△PQS·d= PQ·PRsinα+ PS·PRsinα+ PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即 =常數(shù)。故選D。

　　3.xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(α­n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故選A。

　　4.設(shè)向量 =(x, y)，則 ，

　　即 ，即 . ∴ 或 ，∴S△AOB= =1。

　　5.設(shè)P(x1, y1)，Q(x, y)，因為右準(zhǔn)線方程為x=3，所以H點的坐標(biāo)為(3, y)。又∵HQ=λPH，所以 ，所以由定比分點公式，可得： ，代入橢圓方程，得Q點軌跡為 ，所以離心率e= 。故選C。

　　6.由log x=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A= ，而sinA>0，∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故選B。

　　二、填空題

　　7. 。 由對稱性只考慮y≥0，因為x>0，∴只須求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，這個關(guān)于y的二次方程顯然有實根，故△=16(u2-3)≥0。

　　8.46個。abcd中恰有2個不同數(shù)字時，能組成C =6個不同的數(shù)。abcd中恰有3個不同數(shù)字時，能組成 =16個不同數(shù)。abcd中恰有4個不同數(shù)字時，能組成A =24個不同數(shù)，所以符合要求的數(shù)共有6+16+24=46個。

　　9. 解考慮M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}.

　　P中任何4個不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3.

　　將M的元配為n對，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n.

　　對M的任一n+3元子集A，必有三對 同屬于

　　A(i1、i 2、i 3兩兩不同).

　　又將M的元配為n-1對，C i (i，2n-i)，1≤i≤n-1.

　　對M的任一n+3元子集A，必有一對 同屬于A，

　　這一對 必與 中至少一個無公共元素，這4個元素互不相同，且和為2n+1+2n=4n+1,最小的正整數(shù)k=n+3

　　10. 。①若t2-4>0，即t<-2或t>2，則由 >x(|x|≤1)恒成立，得 , t+1>t2-4, t2-t-5<0解得 ，從而 -t2+4; t2+t-3>0，解得：t< 或t> ，從而

　　11.23.。

　　12.1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y為正整數(shù)時，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知對一切正整數(shù)y，f(y)>0，因此y∈N*時，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即對一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

　　下面證明：當(dāng)整數(shù)t≤-4時，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，

　　即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

　　相加得：f(t)-f(-4)>0，因為：t≤4，故f(t)>t。綜上所述：滿足f(t)=t的整數(shù)只有t=1或t=2。

　　三、解答題

　　13.解：因為(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=

　　4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。

　　當(dāng)a=b=2c>0時等號成立。故k的最小值為100。

　　14.以 為x軸，點P到 的垂線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)Q的坐標(biāo)為(x, 0)，點A(k, λ)，⊙Q的半徑為r，則：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，兩邊平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因為對于任意實數(shù)r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(當(dāng)Q(0, 0), r=1時∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。

　　15.(1)證：依題設(shè)，對任意x∈R，都有f(x)≤1�！遞(x)=-b(x- )2+ ，∴f( )= ≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2 。

　　(2)證：(必要性)，對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 -1≤f(x)據(jù)此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。對任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 f(x)≤1，因為b>1，可推出f( )≤1。即a· -≤1，∴a≤2 ，所以b-1≤a≤2 。

　　(充分性)：因b>1, a≥b-1，對任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x

　　≥-1，即：ax-bx2≥-1;因為b>1，a≤2 ，對任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx2≤2 -bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。

　　綜上，當(dāng)b>1時，對任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要條件是：b-1≤a≤2 。

　　(3)解：因為a>0, 0

　　f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1;

　　f(x)≤1 f(1)≤1 a-b≤1，即a≤b+1;

　　a≤b+1 f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。

　　所以，當(dāng)a>0, 0