彎曲梁的內(nèi)力、應(yīng)力和變形

　　一、 平面彎曲的概念

　　彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。

　　(1)彎曲變形特征。任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)桿的軸線也彎成曲線。

　　(2)平面彎曲。荷載作用面(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲。

　　產(chǎn)生平面彎曲的條件：

　　(1)梁具有縱對(duì)稱面時(shí)，只要外力(橫向力或外力偶)都作用在此縱對(duì)稱面內(nèi)。

　　(2)非對(duì)稱截面梁。

　　純彎曲時(shí)，只要外力偶作用在與梁的形心主慣性平面(即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構(gòu)成的平面)平行的平面內(nèi)。

　　橫力彎曲時(shí)，橫向力必須通過橫截面的彎曲中心，并在與梁的形心主慣性平面平行平面內(nèi)。

　　二、梁橫截面上的內(nèi)力分量——剪力與彎矩

　　(一)剪力與彎矩

　　(1)剪力。梁橫截面上切向分布內(nèi)力的合力，稱為剪力，以Q表示。

　　(2)彎矩。梁橫截面上法向分布內(nèi)力形成的合力偶矩，稱為彎矩，以M表示。

　　(3)剪力與彎矩的符號(hào)。考慮梁微段dx，使右側(cè)截面對(duì)左側(cè)截面產(chǎn)生向下相對(duì)錯(cuò)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù);使微段產(chǎn)生凹向上的彎曲變形的彎矩為正，反之為負(fù)，

　　(4)剪力與彎矩的計(jì)算。由截面法可知，梁的內(nèi)力可用直接法求出：

　　1)橫截面上的剪力，其值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力在橫截面方向的投影代數(shù)和，且左側(cè)梁上向上的外力或右側(cè)梁上向下的外力引起正剪力，反之則引起負(fù)剪力。

　　2)橫截面上的彎矩，其值等于該截面左側(cè)(或右側(cè))梁上所有外力對(duì)該截面形心的力-2矩代數(shù)和，且向上外力均引起正彎矩，左側(cè)梁上順時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶及右側(cè)梁上逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正彎矩，反之則產(chǎn)生負(fù)彎矩

　　(二)內(nèi)力方程——剪力方程與彎矩方程

　　(1)剪力方程。表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程，表示為

　　Q=Q(x)

　　(2)彎矩方程。表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù)，稱為彎矩方程，表示為

　　M=M(x)

　　(三)剪力圖與彎矩圖

　　(1)剪力圖。表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的圖線，稱為剪力圖。

　　(2)彎矩圖。表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的圖線，稱為彎矩圖。

　　三、荷載集度與剪力、彎矩間的關(guān)系及應(yīng)用

　　(一)微分關(guān)系

　　若規(guī)定荷載集度q向上為正，則梁任一橫截面上的剪力、彎矩與荷載集度間的微分關(guān)系。

　　(二)快速作圖法

　　(1)求支反力，并校核。

　　(2)根據(jù)外力不連續(xù)點(diǎn)分段。

　　(3)定形：根據(jù)各段梁上的外力，確定其Q、M圖的形狀。

　　(4)定量：用直接法計(jì)算各分段點(diǎn)、極值點(diǎn)的Q、M值。

　　四、彎曲正應(yīng)力 正應(yīng)力強(qiáng)度條件

　　(一)純彎曲

　　梁的橫截面上只有彎矩而無(wú)剪力時(shí)的彎曲，稱為純彎曲。

　　(二)中性層與中性軸

　　(1)中性層。桿件彎曲變形時(shí)既不伸長(zhǎng)也不縮短的一層。

　　(2)中性軸。中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應(yīng)力為零的各點(diǎn)的連線。

　　(3)中性軸位置。當(dāng)桿件發(fā)生平面彎曲，且處于線彈性范圍時(shí)，中性軸通過橫截面形心，且垂直于荷載作用平面。

　　(4)中性層的曲率。

　　(三)平面彎曲桿件橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律：正應(yīng)力的大小與該點(diǎn)至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力

　　五、彎曲剪應(yīng)力與剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

　　(一)矩形截面梁的剪應(yīng)力

　　兩個(gè)假設(shè)：

　　(1)剪應(yīng)力方向與截面的側(cè)邊平行。

　　(2)沿截面寬度剪應(yīng)力均勻分布

　　(二)其他常用截面梁的最大剪應(yīng)力

　　工字形截面

　　(三)剪應(yīng)力強(qiáng)度條件

　　梁的最大工作剪應(yīng)力不得超過材料的許用剪應(yīng)力

　　七、彎曲中心的概念

　　在橫向力作用下，梁分別在兩個(gè)形心主慣性平面xy和xz內(nèi)彎曲時(shí)，橫截面上剪力Qy和Qz作用線的交點(diǎn)，稱為截面的彎曲中心，也稱為剪切中心。

　　當(dāng)梁上的橫向力不能過截面的彎曲中心時(shí)，梁除了發(fā)生彎曲變形外還要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。

　　彎曲中心的位置僅取決于截面的幾何形狀和大小，它與外力的大小和材料的力學(xué)性質(zhì)無(wú)關(guān)。彎曲中心實(shí)際上是截面上彎曲剪應(yīng)力的合力作用點(diǎn)，如表4所示。

　　因此，彎曲中心的位置有以下特點(diǎn)：

　　(1)具有兩個(gè)對(duì)稱軸或反對(duì)稱軸的截面，其彎曲中心與形心重合。

　　(2)有一個(gè)對(duì)稱軸的截面，其彎曲中心必在此對(duì)稱軸上。

　　(3)若薄壁截面的中心線是由相交于一點(diǎn)的若干直線段所組成，則此交點(diǎn)就是截面的彎曲中心。

　　八、梁的變形——撓度與轉(zhuǎn)角

　　(一)撓曲線

　　在外力作用下，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣�的彈性曲線，梁彎曲后的軸線稱為撓曲線。在平面彎曲下，撓曲線為梁形心主慣性平面內(nèi)的一條平面曲線v=f(x)，

　　(二)撓度與轉(zhuǎn)角

　　梁彎曲變形后，梁的每一個(gè)橫截面都要產(chǎn)生位移，它包括撓度和轉(zhuǎn)角兩部分。

　　(三)撓曲線近似微分方程

　　九、積分法計(jì)算梁的變形

　　十、用疊加法求梁的變形(一)疊加原理

　　幾個(gè)荷載同時(shí)作用下梁的任一截面的撓度或轉(zhuǎn)角，等于各個(gè)荷載單獨(dú)作用下同一截面撓度或轉(zhuǎn)角的總和。

　　(二)疊加原理的適用條件

　　疊加原理僅適用于線性函數(shù)。要求撓度、轉(zhuǎn)角為梁上荷載的線性函數(shù)，必須滿足以下條件：

　　(1)材料為線彈性材料。

　　(2)梁的變形為小變形。

　　(3)結(jié)構(gòu)為幾何線性。

　　(三)疊加法的特征

　　(1)各荷載同時(shí)作用下的撓度、轉(zhuǎn)角等于各荷載單獨(dú)作用下?lián)隙�、轉(zhuǎn)角的總和，應(yīng)該是幾何和，同一方向的幾何和即為代數(shù)和。