第三章參數(shù)估計

　　第一節(jié) 抽樣分布

　　一.總體分布與總體參數(shù)

　　總體分布是總體中所有觀測值所形成的分布。

　　總體參數(shù)是對總體特征的某個概括性的度量。通常有總體平均數(shù)()、總體方差()、總體比例(π)等。

　　二.統(tǒng)計量和抽樣分布

　　總體參數(shù)是未知的，但可以利用樣本信息來推斷。

　　統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的用于推斷總體的某些量，是對樣本特征的某個概括性度量。

　　統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，如樣本均值()、樣本方差(s2 )、樣本比例(p)等。

　　構(gòu)成統(tǒng)計量的函數(shù)中不能包括未知因素。

　　由于樣本是從總體中隨機抽取的，樣本具有隨機性，由樣本數(shù)據(jù)計算出的統(tǒng)計量也就是隨機的。抽樣分布是樣本統(tǒng)計量所形成的概率分布，如樣本均值的分布、樣本比例的分布等。

　　在現(xiàn)實中，一個樣本的統(tǒng)計量我們可以觀察到，但不能觀察到所有可能的統(tǒng)計量值，抽樣分布是一種理論分布。

　　統(tǒng)計量的取值是依據(jù)樣本而變化的，不同的樣本可以計算出不同的統(tǒng)計量值。那么，根據(jù)統(tǒng)計量來推斷總體參數(shù)就必然具有某種不確定性。但我們可以給出這種推斷的可靠性，而度量這種可靠性的依據(jù)是統(tǒng)計量的概率分布，并且我們確知這種分布的某些性質(zhì)。因此，統(tǒng)計量的概率分布提供了該統(tǒng)計量長遠而穩(wěn)定的信息，它構(gòu)成了推斷總體參數(shù)的理論基礎(chǔ)。

　　(一)樣本均值的抽樣分布

　　設(shè)總體共有N個元素，從中隨機抽取一個容量為n的樣本，在重置抽樣時，共有Nn 種抽法，即可以組成Nn不同的樣本，在不重復(fù)抽樣時，共有個可能的樣本。每一個樣本都可以計算出一個均值，這些所有可能的抽樣均值形成的分布就是樣本均值的分布。但現(xiàn)實中不可能將所有的樣本都抽取出來，因此，樣本均值的概率分布實際上是一種理論分布。數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的相關(guān)定理已經(jīng)證明：

　　即樣本均值的均值就是總體均值。

　　在重置抽樣時，樣本均值的方差為總體方的1/n，即

　　在不重置抽樣時，樣本均值的方差為

　　其中，為修正系數(shù)，對于無限總體進行不重置抽樣時，可以按照重置抽樣計算，當(dāng)總體為有限總體，N比較大而n/N≥5% 時，修正系數(shù)可以簡化為1-n/N，當(dāng)N比較大，而n/N<5%時，修正系數(shù)可以近似為1，即可以按重置抽樣計算。

　　當(dāng)總體服從正態(tài)分布時，樣本均值一定服從正態(tài)分布，即有X～N(，)時，

　　若總體為未知的非正態(tài)分布時，只要樣本容量 n足夠大(通常要求n ≥30)，樣本均值仍會接近正態(tài)分布。樣本分布的期望值為總體均值，樣本方差為總體方差的1/n 。這就是統(tǒng)計上著名的中心極限定理。該定理可以表述為：從均值為，方差為的總體中，抽取樣本量為n的隨機樣本，當(dāng)n充分大時(通常要求n ≥30)，樣本均值的分布近似服從均值為，方差為的正態(tài)分布。

　　如果總體不是正態(tài)分布，當(dāng)n為小樣本時(通常n<30)，樣本均值的分布則不服從正態(tài)分布。

　　(二)樣本比例的抽樣分布

　　比例是指具有某種屬性的單位占全部單位數(shù)的比重。

　　總體比例(通常用表示)是總體中具有某種屬性的單位數(shù)占全部總體單位數(shù)的比例，是一個參數(shù)，通常是未知的，也是我們想通過抽樣得到的說明總體特征的數(shù)據(jù)。

　　樣本比例(通常用p表示)是隨機抽取的樣本中具有某種屬性的單位數(shù)占樣本全部單位數(shù)的比例，是一個樣本統(tǒng)計量，是隨機變量，對于一個已經(jīng)抽取出來的樣本來講，是可以觀察到的。描述所有可能樣本比例的概率分布就是樣本比例的抽樣分布。

　　當(dāng)樣本容量比較大時，樣本比例p近似服從正態(tài)分布，且有p的數(shù)學(xué)期望就是總體比率π，即

　　而P的方差與抽樣方法有關(guān)，在重置抽樣下為，在不重置抽樣下為

　　即在重置抽樣時， p的分布為p～N

　　在不重置抽樣時， p的分布為p～N

　　一般講，當(dāng) np≥5，并n(1-p)≥5時，就可以認為樣本容量足夠大。對于無限總體進行不重置抽樣時，可以按照重置抽樣計算，當(dāng)總體為有限總體，當(dāng)N比較大，而n/N 5%時，修正系數(shù)可以近似為1，這時也可以按重置抽樣計算。

　　從上述分析可以看出，隨著樣本容量的增大，樣本比例的方差愈來愈小，說明樣本比例隨樣本容量增大，圍繞總體比例分布的峰度愈來愈高。

　　三.統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差

　　統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，是指樣本統(tǒng)計量分布的標(biāo)準(zhǔn)差。可用于衡量樣本統(tǒng)計量的離散程度。在參數(shù)估計中，它是用于衡量樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間差距的一個重要尺度。

　　樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差計算公式為：

　　當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替計算，這時計算的標(biāo)準(zhǔn)誤差稱為估計標(biāo)準(zhǔn)誤差。

　　相應(yīng)地，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤計算公式為

　　同樣，當(dāng)總體比例的方差 π(1-π)未知時，可用樣本比例的方差p(1-p)代替。