2018年中級(jí)審計(jì)師考試《財(cái)務(wù)管理》章節(jié)講解:貨幣時(shí)間價(jià)值

第二節(jié)　貨幣時(shí)間價(jià)值

　　一、貨幣時(shí)間價(jià)值的基本原理

　　(一)復(fù)利終值與現(xiàn)值

　　1.概念解析：

　　(1)終值(將來值)：現(xiàn)在一定量現(xiàn)金在未來某一時(shí)點(diǎn)上的價(jià)值，俗稱本利和，通常記作F。

　　(2)現(xiàn)值(本金)：指未來某一時(shí)點(diǎn)上的一定量資金折合到現(xiàn)在的價(jià)值，通常記作P。

　　(3)計(jì)息方式：復(fù)利計(jì)息(利滾利)和單利計(jì)息(只就本金計(jì)息)

　　2.復(fù)利終值：本金與復(fù)利計(jì)息后的本利和。

　　【推導(dǎo)】

　　FV1=PV+PV×i=PV(1+i)1

　　FV2=PV(1+i)+PV(1+i)×i=PV(1+i)2

　　……

　　FVn=PV(1+i)n=PV·FVIFi,n

　　其中，F(xiàn)VIFi,n為(1+i)n

　　【例1-1】某企業(yè)將50 000元存入銀行，年利率為5%。該筆存款在5年后的復(fù)利終值為?

　　正確答案: FV5=50 000×(1+5%)5≈63 814(元)

　　為便于計(jì)算復(fù)利終值，可利用復(fù)利終值系數(shù)表(FVIF表)。查找復(fù)利終值系數(shù)后計(jì)算復(fù)利終值如下：50 000×FVIF5%,5 =50 000×1.276=63 800(元)

　　2.復(fù)利現(xiàn)值：指未來貨幣按復(fù)利計(jì)算的現(xiàn)在價(jià)值，即相當(dāng)于未來本利和的現(xiàn)在價(jià)值。

　　【推導(dǎo)】

　　FV1 =PV(1+i)1 → PV=FV1/(1+i)1

　　FV2=PV(1+i)2 → PV=FV2/(1+i)2

　　……

　　FVn=PV(1+i)n → PV=FVn/(1+i)n

　　PV=FVn(1+i)-n= FVn·PVIFi,n，其中PVIFi,n為1/(1+i)n

　　【結(jié)論】復(fù)利終值系數(shù)與復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)之間互為倒數(shù)。

　　【例1-2】某企業(yè)計(jì)劃4年后需要150 000元用于研發(fā)，當(dāng)銀行存款年利率為5%時(shí)，按復(fù)利計(jì)息，則現(xiàn)在應(yīng)存入銀行的本金為?

　　正確答案:

　　PV=150 000×PVIF5%，4=150 000×0.823=123 450(元)

　　【例題】某投資者希望在2年后支取24 200 元，假如存款年利率為10%，且按復(fù)利計(jì)息，則現(xiàn)在應(yīng)存入銀行的金額是(　)。

　　A.20 000元　　　B.20 167元

　　C.22 000元　　　D.24 200元

　　正確答案A

　　【例題】某企業(yè)將60 000元存入銀行，年利率為4%，該筆存款2年后的復(fù)利終值是(　)。

　　A.62 400　　　B.62 424

　　C.64 800　　　D.64 896

　　正確答案 C

　　答案解析 60000*(1+4%)2

　　(二)后付年金

　　【分析】年金：一定時(shí)期內(nèi)等額、定期的系列收支。兩個(gè)特點(diǎn)：一是金額相等;二是時(shí)間間隔相等。包括后付年金、先付年金、延期年金、永久年金。

　　【例題】假定政府發(fā)行一種沒有到期日、不需還本且按年支付固定利息的公債，則該債券利息屬于(　)。

　　A.先付年金　　　B.后付年金

　　C.延期年金　　　D.永久年金

　　正確答案 D

　　【例題】某企業(yè)決定在未來5年內(nèi)，每年年初支付300萬元的倉儲(chǔ)事故保險(xiǎn)費(fèi)。這種年金的類型是(　)。

　　A.先付年金　　　　B.后付年金

　　C.延期年金　　　　D.永續(xù)年金

　　正確答案 A

　　答案解析 先付年金是指一定時(shí)期內(nèi)每期期初等額收付款項(xiàng)的年金

　　1.后付年金終值：一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利終值之和。

　　FVAn = A+A(1+i)+A(1+i)2 ……+A(1+i)n-1

　　【例1-3】某企業(yè)在年初計(jì)劃未來5年每年底將50 000元存入銀行，存款年利率為5%，則第5年底該年金的終值為?

　　正確答案 FVA5=50 000×FVIFA5%，5=50000×5.526=276 300(元)

　　2.后付年金現(xiàn)值：一定時(shí)期內(nèi)每期期末等額收付款項(xiàng)的復(fù)利現(xiàn)值之和。

　　PVAn = A(1+i)-1+A(1+i)-2 +……A(1+i)-n

　　【例1-4】某企業(yè)年初存入銀行一筆款項(xiàng)，計(jì)劃用于未來5年每年底發(fā)放職工養(yǎng)老金80 000元，若年利率為6%，問現(xiàn)在應(yīng)存款多少?

　　正確答案』PVA5=80 000×PVIFA6%,5=80000×4.212=336 960(元)

　　【例題】已知5年期、利率為12%的普通年金終值系數(shù)和現(xiàn)值系數(shù)分別為6.353和3.605。某企業(yè)按12%的年利率取得銀行貸款200 000元，銀行要求在5年內(nèi)每年末等額償付本息，則每年償付金額應(yīng)為(　)。

　　A.64 000元　　　　B.554 79元

　　C.40 000元　　　　D.31 481元

　　正確答案B

　　答案解析PVAn=A×PVIFAi，n，所以A=200000/3.605≈55 479

　　(三)先付年金

　　1.先付年金終值的計(jì)算

　　(1)計(jì)算方法一：Vn=A·(FVIFAi，n+1 -1)

　　【推導(dǎo)】假設(shè)最后一期期末有一個(gè)等額款項(xiàng)的收付，這樣就轉(zhuǎn)換為后付年金的終值問題，由于起點(diǎn)為-1，則期數(shù)為n+1，此時(shí)F=A·FVIFAi，n+1。然后，把多算的在終值點(diǎn)位置上的A減掉，Vn=A·FVIFAi，n+1-A=A(FVIFAi，n+1-1)

　　(2)計(jì)算方法二：先付年金終值=后付年金終值×(1+i)，即 Vn=A·FVIFAi，n·(1+i)

　　A·FVIFAi，n × (1+i)

　　即：(先)預(yù)付年金=后付年金×(1+i)

　　【推導(dǎo)】若向前延長一期，起點(diǎn)為-1，則可看出由(-1～n-1)剛好是n個(gè)期間，套用后付年金終值的計(jì)算公式，得出來的是在第n-1期期末的數(shù)值A(chǔ)·FVIFAi，n，為了得出n年末的終值，F(xiàn)=A·FVIFAi，n(1+i)

　　【例1-5】某企業(yè)計(jì)劃建立一項(xiàng)償債基金，以便在5年后以其本利和一次性償還一筆長期借款。該企業(yè)從現(xiàn)在起每年初存入銀行50 209元,銀行存款年利率為6%。試問：這項(xiàng)償債基金到第5年末的終值是多少?

　　正確答案』V5=50 209× FVIFA6%,5×(1+6%)=50209×5.637×1.06≈300 000(元)

　　或V5=50 209×(FVIFA6%，6 -1)=50 209×(6.975-1)≈300 000(元

　　【例題】某企業(yè)計(jì)劃建立一項(xiàng)償債基金，以便在5年后以其本利和一次性償還一筆長期借款。該企業(yè)從現(xiàn)在起每年年初存入銀行30 000元，銀行存款年利率為5%(FVIFA5%，5=5.526)。該項(xiàng)償債基金第5年末的終值是(　)。

　　A.57 000元　　　　　B.150 000元

　　C.165 780元　　　　 D.174 069元

　　正確答案D

　　答案解析30 000×5.526×(1+5%)=174 069元

　　2.先付年金現(xiàn)值的計(jì)算

　　(1)計(jì)算方法一：V0=A·(PVIFAi，n-1 +1)

　　【推導(dǎo)】假設(shè)第1期期初沒有等額的收付，這樣就轉(zhuǎn)換為后付年金的現(xiàn)值問題，此時(shí)期數(shù)為n-1，此時(shí)P=A* PVIFAi，n-1。然后，把原來未算的第1期期初的A加上，V0=A*PVIFAi，n-1 +A=A(PVIFAi，n-1+1)

　　(2)計(jì)算方法二：先付年金現(xiàn)值=后付年金現(xiàn)值×(1+i)，即V0=A·PVIFAi，n·(1+i)

　　A·PVIFAi,n

　　即：先付年金現(xiàn)值=后付年金現(xiàn)值×(1+i)×(1+i)

　　【推導(dǎo)】若向前延長一期，起點(diǎn)為-1，則可看出由(-1～n-1)剛好是n個(gè)期間，套用后付年金現(xiàn)值的計(jì)算公式，得出來的是在第-1期期末的數(shù)值A(chǔ)·PVIFAi，n，為了得出第0點(diǎn)的數(shù)值，V0=A·PVIFAi，n·(1+i)

　　【例1-6】某企業(yè)租用一臺(tái)設(shè)備,按照租賃合同約定，在5年中每年初需要支付租金6 000元，折現(xiàn)率為7%。問這些租金的現(xiàn)值為多少?

　　正確答案』V0 =6 000×PVIFA7%,5×(1+7%)

　　=6 000×4.100×1.07=26 322(元)

　　或V0 =6 000×(PVIFA7%,4+1)

　　=6 000×(3.387+1)=26 322(元)。

　　【結(jié)論】

　　(四)延期年金

　　延期年金指的是前幾期沒有年金，后幾期才有年金。

　　設(shè)前m期沒有年金，后n期才有年金，則該年金構(gòu)成延期m期的n期延期年金。

　　【例題·單選題】某一項(xiàng)年金前3年沒有流入，后第4年開始每年年初流入4000元，則該項(xiàng)年金的遞延期是(　)年。

　　A.1　　　　B.2

　　C.3　　　　D.4

　　正確答案』B

　　答案解析前3年沒有流入,后4年指的是從第4年開始的,第4年年初相當(dāng)于第3年年末,這項(xiàng)年金相當(dāng)于是從第3年末開始流入的,所以,遞延期為2

　　1.延期年金終值計(jì)算：計(jì)算遞延年金終值和計(jì)算后付年金終值類似。FVAn=A× FVIFAi，n

　　【注意】遞延年金終值與遞延期無關(guān)。

　　2.延期年金現(xiàn)值的計(jì)算

　　(1)計(jì)算方法一：兩次折現(xiàn)法

　　V0=A× PVIFAi,n × PVIFi,m

　　【兩次折現(xiàn)推導(dǎo)過程】把遞延期以后的年金套用后付年金公式求現(xiàn)值，這時(shí)求出來的現(xiàn)值是第一個(gè)等額收付前一期期末的數(shù)值，距離延期年金的現(xiàn)值點(diǎn)還有m期，再向前按照復(fù)利現(xiàn)值公式折現(xiàn)m期即可

　　(2)計(jì)算方法二：年金現(xiàn)值系數(shù)之差法

　　公式：V0=A×(PVIFAi,n+m - PVIFAi,m)

　　【年金現(xiàn)值系數(shù)之差法推導(dǎo)過程】把遞延期每期期末都當(dāng)作有等額的收付A， 把遞延期和以后各期看成是一個(gè)后付年金，計(jì)算出這個(gè)后付年金的現(xiàn)值，再把遞延期多算的年金現(xiàn)值減掉即可

　　【例1-7】某企業(yè)向銀行申請(qǐng)取得一筆長期借款，期限為10年，年利率為9%。按借款合同規(guī)定，企業(yè)在第6-10年每年末償付本息1 186 474元。問這筆長期借款的現(xiàn)值是多少?

　　正確答案』V0=1186 474×PVIFA9%,5×PVIF9%,5=1186 474×3.890×0.650≈3 000 000(元)

　　或V0=1186 747×(PVIFA9%,5+5-PVIFA9%，5)=1186 747×(6.418-3.890)≈3 000 000(元)

　　(五)永久年金

　　永久年金是指無限期收付款項(xiàng)的年金。

　　1.永久年金沒有終值

　　2.永久年金現(xiàn)值=A/i

　　【例1-8】某種永久年金每年收款1 200元，折現(xiàn)率為10%，則該永久年金的現(xiàn)值近似地計(jì)算為?

      正確答案V0=1 200× =12 000(元)

　　二、貨幣時(shí)間價(jià)值的復(fù)雜情況

　　【例1-11】某種年金和不等額系列現(xiàn)金流量混合情況如下表所示，年利率和折現(xiàn)率均為7%：

　　某種年金和不等額系列現(xiàn)金流量混合分布表

　　正確答案

　　(1)終值計(jì)算

　　3 000×FVIFA7%,3×FVIF7%,3+4 000×FVIF7%,2+5 000 ×FVIF7%,1+6 000=3 000×3.125×1.225+4000×1.145+ 5 000×1.070+6 000≈27 414(元)

　　(2)現(xiàn)值計(jì)算

　　3 000×PVIFA7%,3+4 000×PVIF7%，4+5 000×PVIF7%，5+6 000×PVIF7%，6=3 000×2. 624+4 000 ×0.763+5 000×0.713+6 000×0.666=18 485 (元)

　　三、貨幣時(shí)間價(jià)值的特殊情況

　　(一)復(fù)利計(jì)息頻數(shù)的影響

　　【推導(dǎo)】1年復(fù)利m次，則有m個(gè)計(jì)息期，每個(gè)計(jì)息期利率=(名義利率r/m)

　　實(shí)際利息=本金×(1+r/m)m-本金

　　=本金×{(1+r/m)m-1}

　　實(shí)際利率 i=(1+r/m)m-1

　　1.當(dāng)m=1時(shí)，實(shí)際利率=名義利率

　　2.當(dāng)m>1時(shí)，實(shí)際利率>名義利率

　　【注意】一年中計(jì)息次數(shù)越多，復(fù)利終值越大;一年中折現(xiàn)次數(shù)越多，復(fù)利現(xiàn)值越小。

　　【例1-12】假設(shè)年初存入銀行1 000元，年利率12%。試分別計(jì)算按年、半年、季、月計(jì)息到年末的復(fù)利終值。

　　正確答案

　　按年計(jì)息的復(fù)利終值=1000×(1+12%)=1120.00(元)

　　【例1-13】假設(shè)欲在第三年末獲得存款本利和2 000元，年利率12%，試問：若按年、半年、季、月復(fù)利折現(xiàn)，第一年初該存款的復(fù)利現(xiàn)值即本金各為多少?

　　【例題】某銀行推出一種理財(cái)產(chǎn)品，年投資收益率為6%。如果半年計(jì)息一次，則該理財(cái)產(chǎn)品的實(shí)際年投資收益率為(　)。

　　A.6%　　　　　 B.6.03%

　　C.6.09%　　　　D.12%

　　正確答案 C

　　(二)折現(xiàn)率和折現(xiàn)期的計(jì)算

　　在資金時(shí)間價(jià)值的計(jì)算公式中，都有四個(gè)變量(終值或現(xiàn)值、年金、期間、折現(xiàn)率)，已知其中的三個(gè)值，就可以推算出第四個(gè)的值。前面討論的是終值FV、現(xiàn)值PV以及年金A的計(jì)算。

　　這里討論的是已知終值或現(xiàn)值、年金、期間，求折現(xiàn)率(之后講解插值法);或者已知終值或現(xiàn)值、年金、折現(xiàn)率，求期間。

　　【例1-15】某人為購買住房，準(zhǔn)備向銀行借款300000元,每年償還借款(含利息)的能力為30 000元，假定年利率5%，按年復(fù)利計(jì)息，年末還款。其還款期限大約多久?

　　正確答案』根據(jù)后付年金現(xiàn)值的計(jì)算公式PVAn= A×PVIFAi，n，有PVIFAi,n= PVAn/A，接此例：

　　PVIFA5%，n=300000/30000=10

　　查年金現(xiàn)值系數(shù)表：在i=5%時(shí),系數(shù)9.899對(duì)應(yīng)的年數(shù)n=14，系數(shù)10.380對(duì)應(yīng)的年數(shù)n=15，由此可知還款期限大約是14～15年。