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“解三角形”是高中數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容

來(lái)源：焚題庫(kù) [2020-05-12] 【大中小】

類型：學(xué)習(xí)教育

題目總量：200萬(wàn)+

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問(wèn)答題“解三角形”是高中數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容�！镀胀ǜ咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》要求學(xué)生“能通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題”。
（1）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一道三角形度量問(wèn)題并求解；
（要求：同時(shí)用勾股定理和正弦定理解決的實(shí)際應(yīng)用題；體現(xiàn)出兩者的相通性。）
（2）給出正弦定理推導(dǎo)過(guò)程的教學(xué)設(shè)計(jì)，并說(shuō)明設(shè)計(jì)意圖。

參考答案：（1）如圖，船從港口B航行到港口C，測(cè)得BC的距離為600m，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行。由于船員的疏忽沒(méi)有測(cè)得CA的距離，如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出AB的距離？

答：利用測(cè)角儀可測(cè)得∠A，∠B，∠C的大小。
勾股定理解法：
如圖，過(guò)A作AD⊥BC交CB于點(diǎn)D，把△ABC分為兩個(gè)直角三角形。
在Rt△ACD中，sin∠ACB=

，∴AD=ACsin∠ACB=600sin∠ACB。
在Rt△ABD中，sin∠ABC=

，∴AB=

。

正弦定理解法：
在△ABC中，由正弦定理

。
（2）首先通過(guò)特殊例子，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)論。
在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為60°，60°，60°，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1，那么對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

，引導(dǎo)學(xué)生觀察的關(guān)系

的關(guān)系。
在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為45°，45°，90°對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：

，那么對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

，

，1，引導(dǎo)學(xué)生觀察

的關(guān)系。
在△ABC中，∠A，∠B，∠C分別為30°，60°，90°對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：

：2，那么對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為

，引導(dǎo)學(xué)生觀察

的關(guān)系。
[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)觀察猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思想意識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。
驗(yàn)證猜想：在任意的△ABC中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

。
[設(shè)計(jì)意圖]鼓勵(lì)學(xué)生模擬數(shù)學(xué)家的思維方式和思維過(guò)程，大膽拓展，主動(dòng)投入數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，發(fā)展創(chuàng)造性思維。
三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，那么我們分情況來(lái)證明此關(guān)系式。
①直角三角形
由正弦函數(shù)的定義可直接得到