2017考研高數(shù)考點解析：極限

　　第一，極限的定義。理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，最好記住其定義。

　　第二，極限的性質(zhì)。唯一性，有界性，保號性和保不等式性要理解，重點理解保號性和保不等式性，在考研真題里面經(jīng)�？疾椋�而性質(zhì)的本身并不難理解，關(guān)鍵是在做題目的時候怎么能想到，所以同學們在做題目的時候可以看看什么情況下利用了極限的保號性，例如：題目中有一點的導數(shù)大于零或者小于零，或者給定義數(shù)值，可以根據(jù)這個數(shù)值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點的導數(shù)定義，利用極限的保號性，得出相應(yīng)的結(jié)論，切記要根據(jù)題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學們在做題時多去總結(jié)。

　　第三，極限的計算。這一部分是重中之重，這也是三大計算中的第一大計算，每年必考的題目，所以需要同學們能夠熟練地掌握并會計算不同類型的極限計算。首先要知道基本的極限的計算方法，比如：四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、重要極限、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計算的注意事項及拓展，比如：四則運算中掌握“抓大頭”思想(兩個多項式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計算結(jié)果即可)，等價無窮小替換中要掌握等價無窮小替換只能在乘除法中直接應(yīng)用，加減法中不能直接應(yīng)用，如需應(yīng)用必須加附加條件，計算中要掌握基本的等價無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價無窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗證在x趨于某一變化過程中f(x)會否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價無窮替換公式，否則不能。

　　下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

　　第三要能將變形的無窮小替換公式轉(zhuǎn)化為標準形式，比如：公式中固定出現(xiàn)的“1”和f(x)為無窮小量。希望同學們在做題目的時候多加注意，熟能生巧。

　　極限的第三種方法就是洛必達法則。首先，要想在極限中使用洛必達法則就必須要滿足洛必達法則，說到這里有很多同學會打個問號，什么法則，不就是上下同時求導?其實不盡然。

　　洛必達有兩種，無窮比無窮，零比零，分趨近一點和趨近于無窮兩種情況，以趨近于一點來說明法則條件，

　　條件一：零比零或者無窮比無窮(0/0，∞/∞);條件二：趨近于這一點的去心領(lǐng)域內(nèi)可導，且分母導數(shù)不為零;條件三：分子導數(shù)比分母導數(shù)的極限存在或者為無窮，則原極限等于導數(shù)比的極限。

　　在這里要注意極限計算中使用洛必達法則必須同時滿足這三個條件，缺一不可，特別要注意條件三，導數(shù)比的極限一定是存在或者為無窮，不能把無窮認為是極限不存在，因為極限不存在還包括極限不存在也不為無窮這種情況，比如：x趨近于零，sin(1/x)的極限不存在也不為無窮。每次使用都必須驗證三條件是否同時滿足。

　　再來看看重要極限，重要極限有兩個，一個是x趨近于零時，sinx/x趨近于零，另一個是x趨近于零時，(1+x)1/x趨近于e，或者寫成x趨近于無窮，(1+1/x)x趨近于e(1∞形式)，總結(jié)起來就是(1+無窮小量)無窮小量的倒數(shù)，所以要記住重要極限的特點，并可以將其推廣，即把x換成f(x)，在f(x)趨近零，sinf(x)/f(x)趨近于零，(1+f(x))1/f(x)趨近于e，或f(x)趨近無窮，(1+1/f(x))f(x)趨近于e，還要注意當給你冪指函數(shù)的極限計算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應(yīng)的形式就可以得出結(jié)論。

　　這里還要特別的提一下幾個未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，這五個未定式需要轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通過通分、提取或者代換將其轉(zhuǎn)化，0·∞可以將0或者∞放在分母上，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，1∞，00，∞∞利用對數(shù)恒等變化來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中1∞還可以利用重要極限計算。

　　綜上所述，等價無窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉(zhuǎn)化為標準形式，并且給定一個極限首要任務(wù)就是利用等價無窮替換公式化簡。洛必達法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞，計算時注意滿足洛必達法則的三個條件，希望同學們可以掌握基礎(chǔ)，靈活地解決不同類型的極限。