2017年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題

　　一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的

　　(1)若函數(shù) 在 處連續(xù)，則

　　(A) (B) (C) (D)

　　(2)設(shè)函數(shù) 可導(dǎo)，且 則

　　(A) (B)

　　(C) (D)

　　(3)函數(shù) 在點(diǎn) 處沿向量 的方向?qū)��?shù)為()

　　(A)12 (B)6 (C)4 (D)2

　　(4)甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10(單位:m)處,如下圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線 (單位:m/s)虛線表示乙的速度曲線 ，三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10，20，3，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻記為 (單位:s),則

　　(A) (B) (C) (D)

　　(5)設(shè) 為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則

　　(A) 不可逆 (B) 不可逆

　　(C) 不可逆 (D) 不可逆

　　(6)已知矩陣 ，則

　　(A) A與C相似，B與C相似

　　(B) A與C相似，B與C不相似

　　(C) A與C不相似，B與C相似

　　(D) A與C不相似，B與C不相似

　　(7)設(shè) 為隨機(jī)事件，若 ,則 的充分必要條件是()

　　A. B C. D. (8)設(shè) 來自總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記

　　則下列結(jié)論中不正確的是：

　　(A) 服從 分布

　　(B) 服從 分布

　　(C) 服從 分布

　　(D) 服從 分布

　　二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分。

　　(9) 已知函數(shù) ,則 __________

　　(10)微分方程 的通解為 __________

　　(11)若曲線積分 在區(qū)域 內(nèi)與路徑無關(guān)，則

　　(12)冪級(jí)數(shù) 在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)

　　(13)設(shè)矩陣 ， 為線性無關(guān)的3維列向量組，則向量組 的秩為

　　(14)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 ，其中 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則EX=

　　三、解答題：15~23小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

　　(15)(本題滿分10分)

　　設(shè)函數(shù) 具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ,求 ，

　　(16)(本題滿分10分)

　　求

　　(17)(本題滿分10分)

　　已知函數(shù) 由方程 確定，求 得極值

　　(18)(本題滿分10分)

　　在 上具有2階導(dǎo)數(shù)，

　　證(1) 方程 在區(qū)間 至少存在一個(gè)根

　　(2) 方程 在區(qū)間 內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的實(shí)根

　　(19)(本題滿分10分)

　　設(shè)薄片型物體 是圓錐面 被柱面 割下的有限部分，其上任一點(diǎn)弧度為 。記圓錐與柱面的交線為

　　(1)求 在 平面上的投影曲線的方程

　　(2)求 的質(zhì)量

　　(20)(本題滿分11分)

　　三階行列式 有3個(gè)不同的特征值，且

　　(1)證明 (2)如果 求方程組 的通解

　　(21)(本題滿分11分)

　　設(shè) 在正交變換 下的標(biāo)準(zhǔn)型為 求 的值及一個(gè)正交矩陣 .

　　(22)(本題滿分11分)

　　設(shè)隨機(jī)變量XY互獨(dú)立，且 的概率分布為 ，Y概率密度為 (1)求 (2)求 的概率密度

　　(23)(本題滿分11分)

　　某工程師為了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做n次測(cè)量，該物體的質(zhì)量 是已知的，設(shè)n次測(cè)量結(jié)果 相互獨(dú)立，且均服從正態(tài)分布 ，該工程師記錄的是n次測(cè)量的絕對(duì)誤差 ，利用 估計(jì) (I)求 的概率密度

　　(II)利用一階矩求 的矩估計(jì)量

　　(III)求 的最大似然估計(jì)量