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平面的一般方程

1.       平面的一般方程為

                    Ax+By+Cz+D=0     

       其中n=(A,B,C)為法向量

2.       各種特殊情形

a)                            D=0,平面Ax+By+Cz=0經(jīng)過(guò)原點(diǎn);

b)                           A=0,平面By+Cz+D=0平行于x軸;

c)                            B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y軸;

d)                           C=0,平面Ax+By+D=0平行于z軸;

e)                            A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面;

f)                            A=C=0,平面By+D=0平行于 xoz平面;

g)                           B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.

例3.      求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方程.

       解:平面經(jīng)過(guò)x軸,則法向量在x軸上的投影為0,       Þ    A=0;

平面經(jīng)過(guò)x軸,則平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn),                         Þ    D=0;

故可設(shè)平面方程為: By+Cz=0,

又平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,-3,-1),   Þ           -3B-C=0,或C=-3B.

代入有                    y-3z=0.

例4.      設(shè)一平面與x,y,z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三點(diǎn),求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)

解:設(shè)平面方程為          Ax+By+Cz+D=0

      代入  P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)            得

               A=-D/a,         B=-D/b,         C=-D/c,

      代入方程并消去D得平面方程:

                                   

此方程稱為平面的截距式方程,

a,b,c依次稱為平面在x,y,z軸上的截距.