常用描述性統(tǒng)計概念

　　一、隨機變量與描述性統(tǒng)計量

　　(一)隨機變量

　　1.定義

　　我們將一個能取得多個可能值的數(shù)值變量x稱為隨機變量。

　　如果一個隨機變量X最多只能取可數(shù)的不同值，則為離散型隨機變量;如果X的取值無法一一列出，可以遍取某個區(qū)間的任意數(shù)值，則為連續(xù)型隨機變量。

　　2.隨機變量的分布

　　(1)如果X是離散型的，X最多可能取n個值x0，x1，…，xn，并且記pi=P{X=xi}是X取xi的概率，所有概率的總和。

　　(2)如果X是一個連續(xù)型隨機變量，由于無法列出X取每個特定值的概率，我們改用概率密度函數(shù)來刻畫X的分布性質(zhì)。

　　(二)隨機變量的數(shù)字特征與描述性統(tǒng)計量

　　常用的一些數(shù)字特征和它們的描述性統(tǒng)計量有下面幾種：

　　1.期望(均值)

　　隨機變量X的期望(或稱均值，記做E(X))衡量了X取值的平均水平;它是對X所有可能取值按照其發(fā)生概率大小加權后得到的平均值。

　　在X的分布未知時，用抽取樣本X1，…，Xn的算術平均數(shù)(樣本均值)。

　　【例題·計算題】某投資者將其資金分別投向A、B、C三只股票，占總資金的比重分別為40%、40%、20%;股票A、B、C的期望收益率分別為Ra=14%、Rb=20%、Rc=8%。該股票組合的收益率是對少?

　　【答案與解析】則該股票組合的收益率Rp=0.4×14%+0.4×20%+0.2×8%=15.2%。

　　2.方差與標準差

　　對于投資收益率r，用方差(δ2)或標準差(δ)來衡量它偏離期望值的程度。其中方差=δ2=E[(r-Er)2]的數(shù)值越大，收益率r偏離期望收益率Er的程度越大，數(shù)值越小偏離就越小。方差和標準差除了應用于分析投資收益率，還可以用來研究價格指數(shù)、股價指數(shù)等的波動情況。

　　3.分位數(shù)

　　分位數(shù)通常被用來研究隨機變量X以特定概率(或者一組數(shù)據(jù)以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某個值的情況。一般來說，設0≤α≤1，隨機變量X的上α分位數(shù)是指滿足概率值P{X≥xα｝=α的數(shù)xα，下α分位數(shù)是指滿足概率值P{X≤x*α｝=α的數(shù)x*α。

　　4.中位數(shù)

　　中位數(shù)是用來衡量數(shù)據(jù)取值的中等水平或一般水平的數(shù)值。對于隨機變量x來說，它的中位數(shù)就是上50%分位數(shù)x50%，這意味著Ⅳ的取值大于其中位數(shù)和小于其中位數(shù)的概率各為50%。對于一組數(shù)據(jù)來說，中位數(shù)就是大小處于正中間位置的那個數(shù)值。

　　【例題·單選題】通常被用來研究隨機變量X以特定概率取得大于或等于某個值的情況的統(tǒng)計量是( )。

　　A.分位數(shù)

　　B.方差

　　C.標準差

　　D.中位數(shù)

　　【答案】A

　　【解析】分位數(shù)通常被用來研究隨機變量X以特定概率(或者一組數(shù)據(jù)以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某個值的情況。

　　二、正態(tài)分布

　　正態(tài)分布是最重要的一類連續(xù)型隨機變量分布，當一個隨機變量的取值受到大量不同因素作用的共同影響，并且單個因素的影響都微不足道的時候，這個隨機變量就服從或近似服從正態(tài)分布。

　　正態(tài)分布密度函數(shù)的顯著特點是中間高兩邊低，由中間(X=p)向兩邊遞減，并且分布左右對稱，是一條光滑的“鐘形曲線”。

　　正態(tài)分布距離均值越近的地方數(shù)值越集中，而在離均值較遠的地方數(shù)值則很稀疏;這意味著正態(tài)分布出現(xiàn)極端值的概率很低，而出現(xiàn)均值附近的數(shù)值的概率非常大。同時圖像越“瘦”，正態(tài)分布集中在均值附近的程度也越大。

　　三、隨機變量的相關性——相關系數(shù)

　　相關系數(shù)是從資產(chǎn)回報相關性的角度分析兩種不同證券表現(xiàn)的聯(lián)動性。我們通常用ρij表示證券i和證券j的收益回報率之間的相關系數(shù)。相關系數(shù)的絕對值大小體現(xiàn)兩個證券收益率之間相關性的強弱。如果a與b證券之間的相關系數(shù)絕對值|ρab|比a與c證券之間的相關系數(shù)絕對值|ρac|大，則說明前者之間的相關性比后者之間的相關性強。

　　相關系數(shù)ρij總處于+1和-1之間，亦即|ρij|≤1。若Pji=1，則表示ri和rj完全正相關;相反，若ρij=-1，則表示ri和rj完全負相關。如果兩個變量間完全獨立，無任何關系，即零相關，則它們之間的相關系數(shù)ρij=0。

　　通常情況下兩個證券收益率完全相關和零相關的情形都不會出現(xiàn)，其相關系數(shù)往往是區(qū)間(-1，1)中的某個值，即0<|ρij|<1，這時我們稱這兩者不完全相關。

　　當0<ρij<1時，ri與rj正相關，其中一個數(shù)值的增加(降低)往往意味著另一個數(shù)值的增加(降低);

　　而當-1<ρij<0時，ri與rj負相關，其中一個數(shù)值的增加(降低)往往意味著另一個數(shù)值的降低(增加)。

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