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兩平面的夾角

1.       兩平面的夾角:      兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角).

設平面П₁和П₂的法線向量依次為:

               n₁=(A₁,B₁,C₁)  n₂=(A₂,B₂,C₂)

則平面П₁和П₂的夾角θ為(n₁^n₂)和π-(n₁^n₂)中的銳角,

        Þ    cosθ=|cos(n₁^n₂)|,

即有:

平面П1和П2垂直        Û   A1A2+B1B2+C1C1=0        平面П1和П2平行        Û   A1/A2=B1/B2=C1/C1

例1. 求兩平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角.

解:                 n₁=(1,-1,2)         n₂=(2,1,1)

Þ       cosθ= =

Þ       θ=π/3

例2. 一平面通過兩點M₁(1,1,1)和M₂(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.

解:設所求平面的一個法向量為   n={A,B,C}.

由n⊥M₁M₂=(-1,0,-2)            Þ    -A-2C=0

由n⊥(1,1,1)                         Þ    A+B+C=0

Þ    A=-2C,B=C,

代入點法式方程:            A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0

消去C得所求方程為:

2x-y-z=0

點到平面的距離

例3.設P₀(x₀,y₀,z₀)是平面Ax+By+Cz+D=0外一點,求P₀到這平面的距離.

解:在平面上任取一點P₁(x₁,y₁,z₁),并作一法向量n={A,B,C}.

則所求距離:d=│Prj_nP₁P₀│.

又設e_n為與n方向一致的單位向量,

則有:        Prj_nP₁P₀= P₁P₀•e_n