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平面的一般方程
1. 平面的一般方程為
Ax+By+Cz+D=0
其中n=(A,B,C)為法向量
2. 各種特殊情形
a) D=0,平面Ax+By+Cz=0經(jīng)過原點(diǎn);
b) A=0,平面By+Cz+D=0平行于x軸;
c) B=0,平面Ax+Cz+D=0平行于y軸;
d) C=0,平面Ax+By+D=0平行于z軸;
e) A=B=0,平面Cz+D=0平行于xoy平面;
f) A=C=0,平面By+D=0平行于 xoz平面;
g) B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.
例3. 求通過x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面方程.
解:平面經(jīng)過x軸,則法向量在x軸上的投影為0, Þ A=0;
平面經(jīng)過x軸,則平面經(jīng)過原點(diǎn), Þ D=0;
故可設(shè)平面方程為: By+Cz=0,
又平面經(jīng)過點(diǎn)(4,-3,-1), Þ -3B-C=0,或C=-3B.
代入有 y-3z=0.
例4. 設(shè)一平面與x,y,z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三點(diǎn),求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)
解:設(shè)平面方程為 Ax+By+Cz+D=0
代入 P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c) 得
A=-D/a, B=-D/b, C=-D/c,
代入方程并消去D得平面方程:
此方程稱為平面的截距式方程,
a,b,c依次稱為平面在x,y,z軸上的截距.