一、選擇題

已知定義在R上的函數(shù)f(x)其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象所示則下列敘述正確的是(　　)

(b)>f(c)>f(d)

(b)>f(a)>f(c)

(c)>f(b)>f(a)

f(c)>f(b)>f(d)

解析　由f′(x)的圖象知[a，c]時(shí)(x)≥0，f(x)為增函數(shù)>b>a(c)>f(b)>f(a).

答案

2.若函數(shù)f(xkx-在區(qū)間(1+∞)上單調(diào)遞增則k的取值范圍是(　　)

(-∞-2] B.(-∞-1]

[2，+∞) D.[1+∞)

解析　由于f′(x)=k-(x)=kx-在區(qū)間(1+∞)上單調(diào)遞增⇔(x)=k-在(1+∞)上恒成立由于k≥而0<<1所以k≥1.即k的取1，+∞).

答案

3.(2016·保定模擬)函數(shù)f(x)=x-3ax-a在(0)內(nèi)有最小值則a的取值范圍是(　　)

[0，1) B.(-1)

C. D.(0，1)

解析　f′(x)=3x-3a=3(x-a).當(dāng)a0時(shí)(x)>0

∴f(x)在(0)內(nèi)單調(diào)遞增無(wú)最小值.

當(dāng)a>0時(shí)(x)=3(x-)(x+).

當(dāng)x∈(-∞-)和(+∞)時(shí)(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(-)時(shí)(x)單調(diào)遞減

所以當(dāng)<1即0

答案

4.已知f(x)=x+ax+bx-a-7a在x=1處取得極大值10則的值為(　　)

--2

-2或-或-

解析　由題意知f′(x)=3x+2ax+b(1)=0(1)=10即解得或

經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故=-

答案

5.已知函數(shù)f(x)=+ax+3x+1有兩個(gè)極a的取值范圍是(　　)

(，+∞) B.(-∞-)

(-) D.(-∞-)∪(+∞)

解析　f′(x)=x+2ax+3.

由題意知方程f′(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

所以Δ=4a-12>0

解得a>或a<-

答案

二、填空題

已知函數(shù)f(x)=4+ax-6x+b(a為常數(shù))且x=2為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)則a的值為_(kāi)_______.

解析　由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0+∞)

∵f′(x)=+2ax-6(2)=2+4a-6=0即a=1.

答案　1

已知函f(x)=+-2x在定義域內(nèi)是增函數(shù)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.

解析　f′(x)=mx+-2≥0對(duì)一切x>0恒成立

∴m≥-+

令g(x)=-+則當(dāng)=1時(shí)函數(shù)(x)取最大值1.故m≥1.

答案　[1+∞)

(2016·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=

(1)若a=0則f(x)的最大值為_(kāi)_______;

(2)若f(x)無(wú)最大值a的取值范圍是________

解析　(1)當(dāng)a=0時(shí)(x)=

若x≤0(x)=3x-3=3(x-1).

由f′(x)>0得x<-1由f′(x)<0得-1

(x)在(-∞-1)上單調(diào)遞增;

在(-1]上單調(diào)遞減(x)最大值為f(-1)=2.

若x>0(x)=-2x單調(diào)遞減所以f(x)

所以f(x)最大值為2.

(2)函數(shù)y=x-3x與y=-2x的圖象如圖.

由(1)知當(dāng)a≥-1時(shí)(x)取得最大值2.

當(dāng)a<-1時(shí)=-2x在x>a時(shí)無(wú)最大值.且-2a>2.

所以a<-1.

答案　(1)2　(2)(-∞-1)

三、解答題

(2016·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=x-x+bx曲線y=f(x)在點(diǎn)(2(2))處的切線方程為y=(-1)x+4.

(1)求a的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

解　(1)f(x)的定義域?yàn)镽.

(x)=-x-x-x+b=(1-x)-x+b.

依題設(shè)即

解得a=2=

(2)由(1)知f(x)=x-x+

由f′(x)=-x(1-x+-1)及-x>0知

f′(x)與1-x+-1同號(hào).

令g(x)=1-x+-1則g′(x)=-1+-1

所以當(dāng)x∈(-∞)時(shí)(x)<0(x)在區(qū)間(-∞)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(1+∞)時(shí)g′(x)>0(x)在區(qū)間(1+∞)上單調(diào)遞增.

故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞+∞)上的最小值

從而g(x)>0(-∞+∞)

綜上可知(x)>0(-∞+∞).

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞+∞).

已知f(x)=ax-R.

(1)若f(x)在x=1處有極值求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)是否存在實(shí)數(shù)a使f(x)在區(qū)間(0]上的最小值是3若存在求出a的值;

解　(1)由題意知f′(1)=0-1=0=1.

經(jīng)檢驗(yàn)a=1(x)在x=1處有極值

所以f(x)=x-

令f′(x)=1->0解得x>1或x<0

又f(x)的定義域?yàn)?0+∞)

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1+∞).

(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f(x)=ax-(x∈(0，e])有最小值3.

當(dāng)a≤0時(shí)因?yàn)閤∈(0]，所以f′(x)<0

所以f(x)在(0

f(x)min=f()=a-1=3解得a=(舍去);

當(dāng)0<<時(shí)(x)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增

∴f(x)min=f=1ln a=3解得a=滿足條件;

當(dāng)時(shí)因?yàn)閤∈(0]，所以f′(x)<0

∴f(x)在(0]上單調(diào)遞減

∴f(x)min=f()=a-1=3.解得a=舍去.

綜上存在實(shí)數(shù)a=使得當(dāng)x∈(0]時(shí)(x)有最小值3.

設(shè)函數(shù)f(x)=-k(k為常數(shù)=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)當(dāng)k≤0時(shí)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)在(0)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)求k的取值范圍.

解　(1)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)?0+∞).

(x)=-k

=-=

由k≤0可得-kx>0

所以當(dāng)x∈(0)時(shí)(x)<0函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞減

x∈(2，+∞)時(shí)(x)>0函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增.

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2+∞).

(2)由(1)知時(shí)函數(shù)f(x)在(0)內(nèi)單調(diào)遞減

故f(x)在(0)內(nèi)不存在極值點(diǎn);

當(dāng)k>0時(shí)設(shè)函數(shù)g(x)=-kx[0，+∞).

因?yàn)間′(x)=-k=-當(dāng)0

當(dāng)x∈(0)時(shí)(x)=-k>0=g(x)單調(diào)遞增.

故f(x)在(0)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng)k>1時(shí)得x∈(0)時(shí)(x)<0函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減.

(ln k，+∞)時(shí)(x)>0函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)y=g(x)的g(ln k)=k(1-).

函數(shù)f(x)在(0)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)

解得