(限時(shí)45分鐘)

　　計(jì)算題(每小題20分，共80分)

　　1.(2015·昆明模擬)如圖所示，在xOy豎直平面的第一、四象限，有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第二、三象限中存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和場(chǎng)強(qiáng)大小與第一象限的場(chǎng)強(qiáng)大小相等、方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng).第一象限中P點(diǎn)的坐標(biāo)是，在P點(diǎn)拴一根絕緣細(xì)線，長(zhǎng)為R，細(xì)線另一端系一個(gè)質(zhì)量為m、帶電荷量為q的小球，現(xiàn)將細(xì)線拉至與水平方向成45°角由靜止釋放.小球擺至O點(diǎn)位置時(shí)，細(xì)線恰好脫開，小球跨過y軸，恰好做圓周運(yùn)動(dòng).求：

　　(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小;

　　(2)小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度;

　　(3)小球在y軸左側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)半徑.

　　答案：(1)　(2)，方向與y軸正方向成60°角斜向上　(3)

　　解析：(1)小球跨過y軸，恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，可知小球受到的電場(chǎng)力大小等于重力

　　Eq=mg

　　所以場(chǎng)強(qiáng)E=.

　　(2)小球從初始狀態(tài)釋放，擺動(dòng)到O點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理：

　　mgR-EqR=mv2

　　得小球的速度v=

　　速度的方向與y軸正方向成60°角斜向上.

　　(3)如圖，小球在y軸左側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，小球受到的電場(chǎng)力大小等于重力

　　洛倫茲力提供向心力F洛=m

　　即qvB=m

　　得旋轉(zhuǎn)半徑r=.

　　2.(2015·石家莊質(zhì)檢)如圖所示，正三角形ABC內(nèi)有B=0.1 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直于紙面向外，在BC邊右側(cè)有平行于BC且足夠長(zhǎng)的擋板EF，已知B點(diǎn)到擋板的水平距離BD=0.5 m.某一質(zhì)量m=4×10-10 kg、電荷量q=1×10-4 C的粒子，以速度v0=1×104 m/s自A點(diǎn)沿磁場(chǎng)中的AB邊射入，恰可從BC邊水平射出打到擋板上.不計(jì)粒子重力.

　　(1)求粒子從BC邊射出時(shí)，射出點(diǎn)距C點(diǎn)的距離和粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;

　　(2)如果在BC至EF區(qū)域加上豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，使粒子仍能打到擋板上，求所加電場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的最大值.

　　答案：(1) m　×10-5 s　(2)400 V/m

　　解析：(1)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示

　　粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為

　　r==0.4 m

　　MC的長(zhǎng)度

　　lMC== m

　　粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

　　t=×=×10-5 s.

　　(2)當(dāng)粒子恰好打到擋板上Q點(diǎn)時(shí)，軌跡與擋板相切，速度方向沿?fù)醢錏F，如圖乙所示，由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，Q點(diǎn)處粒子的速度的反向延長(zhǎng)線交于水平位移的中點(diǎn)

　　有l(wèi)MN=lNP

　　由題意知lMN=BD=0.5 m

　　當(dāng)粒子打到Q點(diǎn)時(shí)，tan 60°=

　　在豎直方向上的分速度vy=at=t

　　粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

　　聯(lián)立得E=400 V/m.

　　3.如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，x軸上方有方向沿x軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，下方有一半徑為R的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓心在y軸上，且圓與x軸相切，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外.一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子在坐標(biāo)為(L,2L)的A點(diǎn)，以初速度v0沿y軸負(fù)方向射入電場(chǎng)，且剛好從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場(chǎng)中射出.

　　(1)求電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小;

　　(2)若該粒子沿y軸負(fù)方向射出時(shí)的初速度大小為v0，要使該粒子也能從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，且經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場(chǎng)中射出，求該粒子開始射出時(shí)的位置坐標(biāo).

　　答案：(1)　　(2)

　　解析：(1)粒子從A點(diǎn)射入后做類平拋運(yùn)動(dòng)

　　2L=v0t1

　　L=vxt1

　　得vx=v0

　　粒子在O點(diǎn)的速度大小v1==v0

　　與x軸負(fù)方向的夾角θ滿足tan θ==1，θ=45°

　　從A點(diǎn)到O點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理

　　qEL=mv-mv

　　得E=

　　粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由于粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，剛好平行于x軸從磁場(chǎng)中射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于圓形有界磁場(chǎng)的半徑，即r=R

　　得B=.

　　(2)由幾何關(guān)系可知，粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度大小等于v0才能以平行于x軸的方向射出磁場(chǎng).則粒子進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)沿x軸負(fù)方向的速度vx==v0

　　x===L

　　y=v0t=v0·=v0·=L

　　因此粒子開始射出時(shí)的位置坐標(biāo)為.

　　4.(2015·天津理綜)現(xiàn)代科學(xué)儀器常利用電場(chǎng)、磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng).真空中存在著如圖所示的多層緊密相鄰的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)與磁場(chǎng)的寬度均為d.電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向水平向右;磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里.電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊界互相平行且與電場(chǎng)方向垂直.一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子在第1層電場(chǎng)左側(cè)邊界某處由靜止釋放，粒子始終在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力及運(yùn)動(dòng)時(shí)的電磁輻射.

　　(1)求粒子在第2層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)速度v2的大小與軌跡半徑r2;

　　(2)粒子從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為θn，試求sin θn;

　　(3)若粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出，試問在其他條件不變的情況下，也進(jìn)入第n層磁場(chǎng)，但比荷較該粒子大的粒子能否穿出該層磁場(chǎng)右側(cè)邊界，請(qǐng)簡(jiǎn)要推理說明之.

　　答案：見解析

　　解析：(1)粒子在進(jìn)入第2層磁場(chǎng)時(shí)，經(jīng)過兩次電場(chǎng)加速，中間穿過磁場(chǎng)時(shí)洛倫茲力不做功

　　由動(dòng)能定理，有

　　2qEd=mv

　　由式解得

　　v2=2

　　粒子在第2層磁場(chǎng)中受到的洛倫茲力充當(dāng)向心力，有

　　qv2B=m

　　由式解得

　　r2= .

　　(2)設(shè)粒子在第n層磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度為vn，軌跡半徑為rn(各量的下標(biāo)均代表粒子所在層數(shù)，下同)

　　nqEd=mv

　　qvnB=m

　　粒子進(jìn)入第n層磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與水平方向的夾角為αn，從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θn，粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，垂直于電場(chǎng)線方向的速度分量不變，有

　　vn-1sin θn-1=vnsin αn

　　由圖1可看出

　　rnsin θn-rnsin αn=d

　　由式得

　　rnsin θn-rn-1sin θn-1=d

　　由式看出r1sin θ1、r2sin θ2、…、rnsin θn為一等差數(shù)列，公差為d，可得

　　rnsin θn=r1sin θ1+(n-1)d

　　圖1　　　　　　　　圖2

　　當(dāng)n=1時(shí)，由圖2看出

　　r1sin θ1=d

　　由式得

　　sin θn=B .

　　(3)若粒子恰好不能從第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界穿出，則

　　θn=，sin θn=1

　　在其他條件不變的情況下，換用比荷更大的粒子，設(shè)其比荷為，假設(shè)能穿出第n層磁場(chǎng)右側(cè)邊界，粒子穿出時(shí)速度方向與水平方向的夾角為θ′n，由于>

　　則導(dǎo)致sin θ′n>1

　　說明θ′n不存在，即原假設(shè)不成立.所以比荷較該粒子大的粒子不能穿出該層磁場(chǎng)右側(cè)邊界.