計(jì)算題51分練(6)

　　1.(15分)如圖1所示，左邊是一能夠發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子的離子源，離子的發(fā)射速度可以忽略。離子源的S、K電極與一N匝線圈連接，線圈放在一可以均勻變化的磁場中。線圈面積為S，線圈平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的方向垂直。圖中所示寬度為d的范圍內(nèi)，存PQ右側(cè)存在垂直紙面向里的范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。離子經(jīng)S、K間電場加速后以初速度v0垂直于電場左邊界射入偏轉(zhuǎn)電場，離開右邊界虛線PQ時(shí)偏轉(zhuǎn)角度為θ，軌跡與邊界的交點(diǎn)為M。(不計(jì)離子的重力)求：

　　圖1

　　(1)線圈中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B′的變化率和偏轉(zhuǎn)電場的場強(qiáng)E;

　　(2)離子再次運(yùn)動到邊界虛線PQ時(shí)軌跡與邊界的交點(diǎn)到M的距離。

　　解析　(1)qU=mv(2分)

　　U=NS(2分)

　　聯(lián)立解得：=(1分)

　　由tan θ=，ma=qE，d=v0t(2分)

　　E=tan θ①(2分)

　　(2)由cos θ=解得離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)速度的大小

　　v=②(1分)

　　離子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動，有

　　qvB=m③(2分)

　　由②③聯(lián)立解得：R=(1分)

　　離子再次運(yùn)動到邊界虛線PQ時(shí)軌跡與邊界的交點(diǎn)到M的距離MN=2Rcos θ=(2分)

　　答案　(1)　tan θ　(2)

　　2.(17分)如圖2所示，一個(gè)質(zhì)量為m=15 kg的特制柔軟小猴模型，從離地面高h(yuǎn)1=6 m的樹上自由下落，一輛平板車正沿著下落點(diǎn)正下方所在的平直路面以v0=6 m/s的速度勻速前進(jìn)。已知模型開始自由下落時(shí)，平板車前端恰好運(yùn)動到距離下落點(diǎn)正下方s=3 m處，該平板車總長L=7 m，平板車板面離地面高h(yuǎn)2=1 m，模型可看做質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。假定模型落到板面后不彈起，在模型落到板面的瞬間，司機(jī)剎車使平板車a=4 m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動，直至停止，g取10 m/s2，模型下落過程中未與平板車車頭接觸，模型與平板車板面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2。求：

　　圖2

　　(1)模型將落在平板車上距車尾端多遠(yuǎn)處;

　　(2)通過計(jì)算說明，模型是否會從平板車上滑下;

　　(3)模型在平板車上相對滑動的過程中產(chǎn)生的總熱量Q為多少。

　　解析　(1)設(shè)模型經(jīng)時(shí)間t1下落到平板h1-h2=gt①(2分)

　　平板車在t1時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離為x1，則x1=v0t1②(1分)

　　所以模型在車上的落點(diǎn)距車尾端距離為

　　s′=L+s-x1=4 m③(1分)

　　(2)設(shè)模型落在車上后做勻加速運(yùn)動的加速度大小為a1，經(jīng)過時(shí)間t2模型和平板車的速度v，則：

　　平板車的速度為v=v0-at2④(1分)

　　模型的速度為v=a1t2⑤(1分)

　　對模型應(yīng)用牛頓第二定律得μmg=ma1⑥(2分)

　　平板車的位移為x2=v0t2-at⑦(1分)

　　在這段時(shí)間內(nèi)模型的位移為x3=a1t⑧(1分)

　　聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧可得，在這段時(shí)間內(nèi)模型相對車向后的位移為Δx1=x2-x3=3 m⑨(1分)

　　由于Δx1<4 m，故模型不會從平板車上滑下⑩(1分)

　　(3)速度相同后模型和平板車都減速運(yùn)動直到靜止，

　　平板車的位移為x4=(1分)

　　模型的位移為x5=(1分)

　　模型相對車向前的位移為Δx2=x5-x4(1分)

　　模型在平板上來回摩擦產(chǎn)生的總熱量為

　　Q=μmg(Δx1+Δx2)=105 J(2分)

　　答案　(1)4 m　(2)不會滑下　(3)105 J

　　3.(19分)如圖3所示，足夠長的平行金屬導(dǎo)軌內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，金屬桿ab與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌右端與電路連接。已知導(dǎo)軌相距為L，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，R1、R2和ab桿的電阻值均為r，其余電阻不計(jì)，板間距為d、板長為4d，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。如果ab桿以某一速度向左勻速運(yùn)動時(shí)，沿兩板中心線水平射入質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的微粒恰能沿兩板中心線射出，如果ab桿以同樣大小的速度向右勻速運(yùn)動時(shí)，該微粒將射到B板距其左端d的C處。

　　圖3

　　(1)求ab桿勻速運(yùn)動的速度大小v;

　　(2)求微粒水平射入兩板時(shí)的速度大小v0;

　　(3)如果以v0沿中心線射入的上述微粒能夠從兩板間射出，試討論ab桿向左勻速運(yùn)動的速度范圍。

　　解析　(1)設(shè)ab桿勻速運(yùn)動的速度為v，則ab桿產(chǎn)生的電動勢為E=BLv①(1分)

　　兩板間的電壓為U0=E=②(1分)

　　ab桿向左勻速運(yùn)動時(shí)：=mg③(1分)

　　由①②③式得：v=④(1分)

　　(2)ab桿向右勻速運(yùn)動時(shí)，設(shè)帶電微粒射入兩極板時(shí)的速度為v0，向下運(yùn)動的加速度為a，經(jīng)時(shí)間t射到C點(diǎn)，有：

　　+mg=ma⑤(2分

　　微粒做類平拋運(yùn)動有：d=v0t⑥(1分)

　　=at2⑦(1分)

　　由③⑤⑥⑦得：v0=⑧(1分)

　　(3)要使帶電微粒能從兩板間射出，設(shè)它在豎直方向運(yùn)動的加速度為a1、時(shí)間為t1，應(yīng)有：

　　>a1t⑨(1分)

　　t1=⑩(1分)

　　由⑧⑨⑩得：a1<(1分)

　　若a1的方向向上，設(shè)ab桿運(yùn)動的速度為v1，兩板電壓為：U1=BLv1(1分)

　　又有：-mg=ma1(1分)

　　聯(lián)立v1<⑭(1分)

　　若a1的方向向下，設(shè)ab桿的運(yùn)動速度為v2，兩板電壓為：U2=BLv2(1分)

　　又有：mg-=ma1(1分)

　　由v2>⑰(1分)

　　所以ab桿向左勻速運(yùn)動時(shí)速度的大小范圍為