計算題51分練(5)

　　1.(15分)某電視臺闖關競技節(jié)目的第一關是雪滑梯，其結構可以簡化為下圖模型。雪滑梯頂點距地面高h=15 ml=25 m，在水平部分距離斜道底端為x0=20 m處有一海綿坑。比賽時參賽運動員乘坐一質量為M的雪輪胎從賽道頂端滑下，在水平雪道上翻離雪輪胎滑向海綿坑，運動員停在距離海綿坑1 m范圍內算過關。已知雪輪胎與雪道間的動摩擦因數μ1=0.3，運動員與雪道間的動摩擦因數μ2=0.8，假設運動員離開雪輪胎的時間不計，運動員落到雪道上時的水平速度不變。求質量為m的運動員(可視為質點)在水平雪道上的什么區(qū)域離開雪輪胎才能闖關成功。

　　圖1

　　解析　設運動員乘坐輪胎沿斜滑梯滑動時的加速度為a0，滑到底端時的速度大小為v，有

　　(M+m)gsin θ-μ1(M+m)gcos θ=(M+m)a0(2分)

　　v2=2a0l，(1分)

　　解得：v=6m/s。(2分)

　　在水平軌道上運動a1，翻下后加速度為a2，由牛頓第二定律得：

　　μ1(M+m)g=(M+m)a1，μ2mg=ma2，(3分)

　　設在距離海綿坑x1處翻下時剛好滑到海綿坑邊停下，翻下時速度為v1，則有：

　　v2-v=2a1(x0-x1)，v=2a2x1，(2分)

　　聯立解得x1=6 m。(1分)

　　設在距離海綿坑x2處翻下時剛好滑到距離海綿坑邊1 m處停下，翻下時速度為v2，則有：

　　v2-v=2a1(x0-x2)，v=2a2(x2-1)，(2分)

　　聯立解得x2=7.6 m，(1分)

　　故選手應該在距離海綿坑7.6 m～6 m之間的區(qū)域離開雪輪胎，才能闖關成功。(1分)

　　答案　見解析

　　2.(17分)(2015·河北五校聯考)如圖2所示，有3塊水平放置的長薄金屬板a、b和c，a、b之間相距為L。緊貼b板下表面豎直放置半徑為R的半圓形塑料細管，兩管口正好位于小孔M、N處。板a與b、b與c之間b與c間還存在方向垂直紙面向外的勻強磁場。當體積為V0、密度為ρ、電荷量為q的帶負電油滴，等間隔地以速率v0從a板上的小孔豎直向下射入，調節(jié)板間電壓Uba和Ubc，當Uba=U1、Ubc=U2時，油滴穿過b板M孔進入細管，恰能與細管無接觸地從N孔射出。忽略小孔和細管對電場的影響，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：

　　圖2

　　(1)油滴進入M孔時的速度v1;

　　(2)b、c兩板間的電場強度E和磁感應強度B的值;

　　(3)當油滴從細管的N孔射出Uba和B立即調整到Uba′和B′，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路與細管無接觸地返回穿過M孔，請給出Uba′和B′的結果。

　　解析　(1)油滴進入電場后，重力與電場力均做功，設到M點時的速度為v1，由動能定理得

　　mv-mv=mgL+qU1(2分)

　　考慮到m=ρV0(1分)

　　得v1=(2分)

　　(2)油滴進入電場、磁場共存區(qū)域，恰與細管無接觸地從N孔射出，須電場力與重力平衡，有mg=qE(2分)

　　得E=(1分)

　　油滴在半圓形細管中運動時，洛倫茲力提供向心力，有

　　qv1B=(2分)

　　得B==(2分)

　　(3)若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿過M點，由動能定理得

　　0-mv=-mgL-qUba′(2分)

　　得Uba′=U1(1分)

　　考慮到油滴返回時速度方向已經相反，為了使油滴沿原路與細管無接觸地返回并穿過M孔，磁感應強度的大小不變，方向相反，即：B′=-B。(2分)

　　答案　(1) 　(2)　 (3)U1+-B

　　3.(19分)如圖3所示，在xOy平面坐標系中，直線MN與y軸成30°角，M點的坐標為(0，a)，在y軸與直線MN之間的區(qū)域內，存在垂直xOy平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場。電子束以相同速度v0從y軸上-a≤y≤0的區(qū)間垂直于y軸和磁場射入磁場。已知從O點射入磁場的電子在磁場中的運動軌跡恰好與直線MN相切，忽略電子間的相互作用和電子的重力。

　　(1)求電子的比荷;

　　(2)若在xOy坐標系的第Ⅰ象限y>0區(qū)域內加上沿y軸正方向大小為E=Bv0的勻強電場，在x0=a處垂直于x軸放置一熒光屏，計算說明熒光屏上發(fā)光區(qū)的形狀和范圍。

　　解析　(1)從O點射入

　　r+=a①(1分)

　　解得：r=②(1分)

　　電子在磁場中運動時，洛倫茲力等于向心力，即

　　eBv0=m③(2分)

　　聯立解得電子比荷=④(2分)

　　(2)由電子的軌道半徑可判斷，在O點射入磁場的電子從(0，a)的位置進入勻強電場，電子進入電場后做類平拋運動，有2r=t2⑤(2分)

　　x=v0t⑥(1分)

　　將E=Bv0代入，聯立解得：x=a⑦(2分)

　　設該x軸時速度與x軸正方向成θ角，則

　　vy=t⑧(2分)

　　tan θ=⑨(1分)

　　解得：tan θ=2⑩(1分)

　　設該電子打在熒光屏上的Q點，Q點離x軸的距離為L，則

　　L=(x0-x)tan θ=a(2分)

　　x軸的最遠距離為L=a

　　而從(0，-a)位置進入磁場的電子恰好由O點過y軸，不受電場力，沿x軸正方向做勻速直線運動，打在熒光屏與x軸相交的點上，所以熒光屏上在y坐標分別為0、-a的范圍內出現一條長亮線(2分)

　　答案　(1)　(2)在y坐標分別為0、-a的范圍內出現一條長亮線