計(jì)算題51分練(3)
1.(15分)如圖1所示，板MNPQ上方是磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，板上有兩條寬度都為d的縫，兩縫近端相距也為d。一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從左縫不同位置垂直MN進(jìn)入磁場(chǎng)，都能從右縫射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力。求：
圖1
(1)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t;
(2)該粒子從不同位置射入磁場(chǎng)到到達(dá)NP中垂線的時(shí)間范圍;
(3)在射入后這段時(shí)間內(nèi)，該粒子可能出現(xiàn)區(qū)域的面積。
解析 (1)粒子無(wú)論從縫MN中何處進(jìn)入磁場(chǎng)，從縫PQ射出時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡都是半個(gè)圓周
由qvB=m(2分)
T=(2分)
解得T=(1分)
運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=T=(1分)
(2)要使粒子都能從磁場(chǎng)中射出，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
R=d(1分)
經(jīng)分析知，從M進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子到達(dá)NP中垂線的時(shí)間最長(zhǎng)tmax=T=(2分)
從N點(diǎn)射入磁場(chǎng)的粒子到達(dá)NP中垂線的時(shí)間最短
tmax=T=(2分)
時(shí)間范圍為≤t≤(2分)
(3)經(jīng)分析可知，在射入后這段時(shí)間里，粒子可能出現(xiàn)區(qū)域的面積S=d2。(2分)
答案 (1) (2)≤t≤ (3)d2
2.(17分)(2015·四川高考信息卷二)如圖2所示，頂角為90°的“V”形光滑金屬導(dǎo)軌MON固定在傾角為θ的絕緣斜面上，M、N連線平行于斜面底端，導(dǎo)軌MO、NO的長(zhǎng)度相等，M、N兩點(diǎn)間的距離L=2 m，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.5 T、方向垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。一根質(zhì)量為m=0.4 kg;粗細(xì)均勻、單位長(zhǎng)度電阻值為r=0.5 Ω/m的導(dǎo)體棒ab，受到平行于斜面向上且垂直于ab的變力F作用，以速度v=2 m/s沿導(dǎo)軌向下勻速滑動(dòng)，導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與導(dǎo)軌接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌電阻，從導(dǎo)體棒在MN時(shí)開始計(jì)時(shí)，
圖2
(1)t=0時(shí)，F(xiàn)=0，求斜面傾角θ;
(2)求0.2 s內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體棒的電荷量q;
(3)求導(dǎo)體棒通過(guò)整個(gè)金屬導(dǎo)軌的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳Q。
解析 (1)導(dǎo)體棒開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv(2分)
感應(yīng)電流I==(2分)
安培力F安=BIL(1分)
由平衡條件得mgsin θ=F安+F(2分)
F=0
聯(lián)立上式得θ=30°(1分)
(2)感應(yīng)電流I==與導(dǎo)體棒切割的有效長(zhǎng)度L無(wú)關(guān)
感應(yīng)電流大小I==2 A(1分)
故0.2 s內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體棒的電荷量q=It=0.4 C(2分)
(3)解法一：設(shè)導(dǎo)體棒經(jīng)t時(shí)間沿導(dǎo)軌勻速向下運(yùn)動(dòng)的位移為x，則在t時(shí)刻導(dǎo)體棒切割的有效長(zhǎng)度Lx=L-2x(1分)
導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力
F安=BILx=(L-2x)=2-2x(2分)
因安培力的大小F安與位移x呈線性關(guān)系，故通過(guò)導(dǎo)軌過(guò)程中導(dǎo)體棒所受安培力的平均值
安= N=1 N(1分)
產(chǎn)生的焦耳熱Q=安·=1 J(2分)
解法二：設(shè)導(dǎo)體棒經(jīng)t時(shí)間沿導(dǎo)軌勻速向下運(yùn)動(dòng)的位移為x，則t時(shí)刻導(dǎo)體棒切割的有效長(zhǎng)度Lx=L-2x
導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的安培力
F安=BILx=(L-2x)=2-2x
作出安培力大小隨位移x變化的圖像
圖像與坐標(biāo)軸圍成面積表示導(dǎo)體棒克服安培力做的功，也表示產(chǎn)生Q，所以，產(chǎn)生的焦耳熱Q=1 J
答案 (1)30° (2)0.4 C (3)1 J
3.(19分)如圖3所示，光滑水平面與一傾斜運(yùn)輸帶MP相接，運(yùn)輸帶與水平面夾角為θ=30°，運(yùn)輸帶順時(shí)針運(yùn)行，速率v0=5 m/s。在水平面上的N點(diǎn)處放一質(zhì)量m=0.4 kg的小物塊，N點(diǎn)與運(yùn)輸帶下端M點(diǎn)間的距離x=2 m。現(xiàn)對(duì)小物體施加水平恒力F=10 N作用至M點(diǎn)撤掉，連接點(diǎn)M處是平滑的，，到達(dá)運(yùn)輸帶最高點(diǎn)P時(shí)速度恰好為零，取g=10 m/s2，求：
圖3
(1)小物體運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)的速度大小;
(2)MP之間的距離L;
(3)小物體在運(yùn)輸帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中相對(duì)運(yùn)輸帶滑動(dòng)的距離Δs。
解析 (1)小物體從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至M點(diǎn)，由動(dòng)能定理得
Fx=mv2(2分)
解得v=10 m/s。(1分)
(2)小物體從剛到運(yùn)輸帶上到兩者共速前，受到沿斜面向下的摩擦力作用，做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得
mgsin θ+μmgcos θ=ma1(2分)
解得a1=7.5 m/s2(1分)
由v-v2=-2a1L1
得 L1=5 m(1分)
小物體與運(yùn)輸帶共速后繼續(xù)做減速運(yùn)動(dòng)，相對(duì)于運(yùn)輸帶下滑，受沿斜面向上的摩擦力，由牛頓第二定律得
mgsin θ-μmgcos θ=ma2(2分)
解得a2=2.5 m/s2(1分)
由0-v=-2a2L2得L2=5 m(1分)
則L=L1+L2=10 m。(1分)
(3)由v0=v-a1t1得t1= s(1分)
所以運(yùn)輸帶運(yùn)行的位移
x1=v0t1= m(1分)
小物體相對(duì)運(yùn)輸帶的位移
Δs1=L1-x1= m(1分)
由0=v0-a2t2得t2=2 s(1分)
所以運(yùn)輸帶運(yùn)行的位移
x2=v0t2=10 m(1分)
小物體相對(duì)運(yùn)輸帶的位移
Δs2=x2-L2=5 m(1分)
所以小物體相對(duì)于運(yùn)輸帶滑動(dòng)的距離
Δs=Δs1+Δs2= m。(1分)
答案 (1)10 m/s (2)10 m (3) m
