計(jì)算題51分練(2)

　　1.(15分)(2015·海南單科，14)如圖1所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)。已知h=2 m，s= m。取重力加速度大小g=10 m/s2。

　　圖1

　　(1)一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑;

　　(2)若環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動(dòng)而開始滑下，求環(huán)c點(diǎn)時(shí)速度的水平分量的大小。

　　解析　(1)一小環(huán)在bc段軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，與軌道之間無相互作用力，則說明下落到b點(diǎn)時(shí)的速度水平，小環(huán)做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡與軌道bc重合，故有s=vbt①(1分)

　　h=gt2②(2分)

　　在ab滑落過程中，根據(jù)動(dòng)能定理可得

　　mgR=mv③(2分)

　　聯(lián)立三式可得R==0.25 m(2分)

　　(2)下滑過程中，初速度為零，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理可得mgh=mv④(2分)

　　因?yàn)槲矬w滑到c點(diǎn)時(shí)與豎直方向的夾角等于(1)問中做平拋運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)速度與豎直方向的夾角相等，設(shè)為θ，則根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知

　　sin θ=⑤(2分)

　　根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可得

　　sin θ=⑥(2分)

　　聯(lián)立①②④⑤⑥可得v水平= m/s。(2分)

　　答案　(1)0.25 m　(2) m/s

　　2.(17分)(2015·四川資陽高三二診)如圖2，足夠長斜面傾角θ=30°，斜面上A點(diǎn)上方光滑，A點(diǎn)下方粗糙，μ=，光滑水平面上B點(diǎn)左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=105 V/m，可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體C、D質(zhì)量分別為mC=4 kg，mD=1 kg，D帶電q=3×10-4C，用細(xì)線通過光滑滑輪連在一起，分別放在斜面及水平面上的P和Q點(diǎn)由靜止釋放，B、Q間距離d=1 mA、P間距離為2d。取g=10 m/s2，求：

　　圖2

　　(1)物體C第一次運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度v0;

　　(2)物體C第一次經(jīng)過A到第二次經(jīng)過A的時(shí)間t。

　　解析　(1)由題知將C、D兩物體釋放后C物將沿斜面下滑，C物從P到A過程，對(duì)C、D系統(tǒng)由動(dòng)能定理：

　　mCg·2dsin θ-Eq·d=(mC+mD)v①(2分)

　　解①得：v0=2 m/s②(1分)

　　(2)由題意，C經(jīng)過A點(diǎn)后將減速下滑至速度為0后又加速上滑，設(shè)其加速度大小為a1，向下運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1，發(fā)生的位移為x1.對(duì)物體C：

　　mCgsin θ-T1-μmCgcos θ=-mCa1③(2分)

　　t1= ④(1分)

　　x1=⑤(1分)

　　對(duì)物體D：T1-Eq=-mDa1⑥(2分)

　　設(shè)物體C返回后再加速上滑到A的過程中，加速度大小為a2，時(shí)間為t2，有：

　　對(duì)物體C：

　　T2-μmCgcos θ-mCgsin θ=mCa2⑦(2分)

　　對(duì)D：Eq-T2=mDa2⑧(2分)

　　x1=a2t⑨(1分)

　　t=t1+t2⑩(1分)

　　聯(lián)解③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩并代入數(shù)據(jù)得：

　　t=(+1) s≈1.82 s (2分)

　　答案　(1)2 m/s　(2)1.82 s

　　3.(19分)如圖3所示，空間存在方向豎直向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有兩條平行的長直導(dǎo)軌MN、PQ處于同一水平面內(nèi)，間距L=0.2 m，右端連接阻值R=0.4 Ω的電阻。質(zhì)量m=0.1 kg的導(dǎo)體棒ab垂直跨接在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2。從t=0時(shí)刻開始，通過一小型電動(dòng)機(jī)對(duì)棒施加一個(gè)水平向左的牽引力F，使棒從靜止開始沿導(dǎo)軌方向做加速運(yùn)動(dòng)，此過程中棒始終保OA是直線，AC是曲線，DE是AC曲線的漸近線)，電動(dòng)機(jī)在12 s末達(dá)到額定功率，此后功率保持不變。已知0～12 s內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量Q=12.5 J。除R以外其余部分的電阻均不計(jì)，取重力加速度大小g=10 m/s2。求：

　　圖3

　　(1)棒在0～12 s內(nèi)的加速度大小a;

　　(2)電動(dòng)機(jī)的額定功率P;

　　(3)0～12 s內(nèi)牽引力做的功W。

　　解析　(1)由圖像知t1=12 s時(shí)的速度v1=9 m/s(2分)

　　a==0.75 m/s2。(2分)

　　(2)當(dāng)棒達(dá)到收尾速度vm=10 m/s后，棒受力平衡，有

　　F=μmg+BIL(2分)

　　而I=，P=Fvm(2分)

　　得P=(μmg+)vm=4.5 W。(3分)

　　(3)在0～12 s內(nèi)F是變力，根據(jù)動(dòng)能定理有

　　W-Wf-WB=mv-0(2分)

　　而WB=Q，Wf=μmgs(2分)

　　0～12 s

　　x=v1t1=×9×12 m=54 m(2分)

　　解得W=27.35 J。(2分)

　　答案　(1)0.75 m/s2　(2)4.5 W　(3)27.35 J