11.如圖，已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點E、F分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線AC和EF所成的角為(　　)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

答案　C

解析　連接BC1，A1C1，A1B，如圖所示：

根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，則∠A1C1B即為異面直線AC和EF所成的角，BC1=A1C1=A1B，∴△A1C1B為等邊三角形，故∠A1C1B=60°，

故選C.

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E為AD的中點，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使得點A，D重合于F，則此時二面角E—BC—F的余弦值為(　　)

A.B.C.D.

答案　B

解析　如圖所示，取BC的中點P，連接EP，F(xiàn)P.

由題意得BF=CF=2，PF⊥BC，

又∵EB=EC==，∴EP⊥BC，

∴∠EPF即為二面角E—BC—F的平面角，

而FP==，

∴在△EPF中，cos∠EPF=

==，

故選B.

13.如圖，在棱長為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，點E為CC1的中點，那么異面直線OE與AD1所成角的余弦值等于________.

答案

解析　取BC的中點F，連接EF，OF，

由于點O為底面ABCD的中心，點E為CC1的中點，所以EF∥BC1∥AD1，

所以異面直線OE與AD1所成角，即OE與EF所成的角.

平面ABCD⊥平面BCC1B1，

平面ABCD∩BCC1B1=BC，

OF⊥BC，OF平面ABCD，

所以O(shè)F⊥平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，

所以EF⊥OF.

因為EF=，OF=1，

所以O(shè)E===.

所以cos∠FEO===.

14.四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上，底面ABCD是矩形，其中AB=3，BC=4，又PA⊥平面ABCD，PA=5，則該球的表面積為________.

答案　50π

解析　由勾股定理得AC=5，在等腰直角三角形PAC中，PC=2R=5，因此表面積S=4πR2=50π.

15.已知矩形ABCD的周長為18，把它沿圖中的虛線折成正六棱柱，當(dāng)這個正六棱柱的體積最大時，它的外接球的表面積為________.

答案　13π

解析　設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為y，

則6x+y=9,0

正六棱柱的體積V=6×x2y=(-6x3+9x2)，

∴V′=-9x(x-1)，

∴令V′=0，則x=0(舍)或x=1.

∵當(dāng)x>1時，V′<0;當(dāng)00，

∴當(dāng)x=1時，正六棱柱體積最大，此時y=3.

可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心連線的中點，則半徑為=，

∴外接球的表面積為4π×=13π.

16.α，β是兩個平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：

①AC⊥β;②AC與α，β所成的角相等;③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上;④AC∥EF.

其中能成為增加條件的序號是________.

答案�、佗�

解析　由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點共面，

①中，∵AC⊥β，EFβ，∴AC⊥EF，

又∵AB⊥α，EFα，

∴AB⊥EF，∵AB∩AC=A，∴EF⊥平面ABCD，

又∵BD平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確;②中，由①可知，若BD⊥EF成立，則有EF⊥平面ABCD，則有EF⊥AC成立，而AC與α，β所成的角相等是無法得到EF⊥AC的，故②錯誤;③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知EF⊥AC，由①可知③正確;④中，仿照②的分析過程可知④錯誤，故填：①③.