(一)1.已知函數(shù)f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在[0，]上的最大值為，當(dāng)把f(x)的圖象上的所有點向右平移φ(0<φ<)個單位后，得到圖象對應(yīng)函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱.

(1)求函數(shù)g(x)的解析式;

(2)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知g(x)在y軸右側(cè)的第一個零點為C，若c=4，求△ABC的面積S的最大值.

解　(1)由題意知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，

∴2sin =，

∴=2kπ+，k∈Z，

得ω=4k+，k∈Z.

經(jīng)驗證當(dāng)k=0時滿足題意，故求得ω=，

∴g(x)=2sin(x-)，

故×-φ=kπ+，k∈Z，

∴φ=-2kπ+，k∈Z，又0<φ<，

∴φ=.故g(x)=2sin(-).

(2)根據(jù)題意，得-=kπ，k∈Z，

∴x=2kπ+，k∈Z，∴C=.

又c=4，得16=a2+b2-2abcos ，

∴a2+b2=16+ab≥2ab，

∴ab≤32+16，

∴S=absin C=ab≤8+4，

∴S的最大值為8+4.

2.四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=.

(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l，求證：l∥AB;

(2)求證：SA⊥BC;

(3)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值.

(1)證明　∵底面ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD.

∵AB平面SCD，CD平面SCD，

∴AB∥平面SCD，

又∵平面SCD與平面SAB的交線為l，

∴l(xiāng)∥AB.

(2)證明　連結(jié)AC.

∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，

由余弦定理得AC=2，

∴AC=AB.

取BC中點G，連結(jié)SG，AG，則AG⊥BC.

∵SB=SC，∴SG⊥BC，

∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，

∴BC⊥SA.

(3)解　如圖，以射線OA為x軸，以射線OB為y軸，以射線OS為z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則A(，0,0)，B(0，，0)，S(0,0,1)，D(，-2，0).

∴=(，-2，0)-(0,0,1)=(，-2，-1)，

=(，0,0)-(0,0,1)=(，0，-1)，

=(，0,0)-(0，，0)=(，-，0).

設(shè)平面SAB法向量為n=(x，y，z)，

有

令x=1，則y=1，z=，n=(1,1，)，

cos〈n，〉= ==-.

∴直線SD與平面SAB所成角的正弦值為.

3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足an=4log2bn+3(n∈N*).

(1)求an，bn;

(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.

解　(1)由Sn=2n2+n，得a1=S1=3;

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=4n-1.

又a1=3也適合上式.

所以an=4n-1，n∈N*，

由4n-1=an=4log2bn+3，得bn=2n-1，n∈N*.

(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1，n∈N*.

所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)2n-1，

所以2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n，

所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]

=(4n-5)2n+5.

故Tn=(4n-5)2n+5，n∈N*.