1.已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁＝3，a₁＋a₃＋a₅＝21，則a₃＋a₅＋a₇＝(　　)

 

A．21  B．42  C．63  D．84

2．若a，b是函數(shù)f(x)＝x²－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等

 

比數(shù)列，則p＋q的值等于(　　)

 

A．6  B．7  C．8  D．9

 

3．設(shè){a_n}是公比為q的等比數(shù)列．則“q>1”是“{a_n}為遞增數(shù)列”的(　　)

 

A．充分而不必要條件  B．必要而不充分條件

 

C．充分必要條件  D．既不充分也不必要條件

 

4．對(duì)任意等比數(shù)列{a_n}，下列說(shuō)法一定正確的是(　　)

 

A．a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列

 

B．a₂，a₃，a₆成等比數(shù)列

 

C．a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列

 

D．a₃，a₆，a₉成等比數(shù)列

 

5．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，a₁＋a₄＝9，a₂a₃＝8，則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和等于________．

 

6．設(shè)S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若a₁＝1，且3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，則a_n＝________．

 

7．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，若a₂＝1，a₈＝a₆＋2a₄，則a₆的值是________．

 

8．如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝2.過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為A₁；過(guò)點(diǎn)A₁作AC的垂線，垂足為A₂；過(guò)點(diǎn)A₂作A₁C的垂線，

 

垂足為A₃；…，依此類(lèi)推，設(shè)BA＝a₁，AA₁＝a₂，A₁A₂＝a₃，…，A₅A₆＝a₇，則a₇＝________.

 

9．若等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a₁₀a₁₁＋a₉a₁₂＝2e⁵，則ln a₁＋ln a₂＋…＋ln a₂₀＝________．

 

10．已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{a_n}，{b_n}(b_n≠0，n∈N^*)滿足a_nb_n＋1－a_n＋1b_n＋2b_n＋1b_n＝0.

(1)令c_n＝bn(an)，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；

 

(2)若b_n＝3^n－1，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n.

參考答案

1．B　[設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則由a₁＝3，a₁＋a₃＋a₅＝21得3(1＋q²＋q⁴)＝21，解得q²＝－3(舍去)或q²＝2，于是a₃＋a₅＋a₇＝q²

 

(a₁＋a₃＋a₅)＝2×21＝42，故選B.]

 

2．D　[由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個(gè)數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，

 

－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有：a，－2，b；b，－2，a.

 

∴2b＝a－2(ab＝4，)或2a＝b－2(ab＝4，)解之得：b＝1(a＝4，)或b＝4.(a＝1，)

 

∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D.]

3．D　[當(dāng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁<0時(shí)，若q>1，則數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列；當(dāng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁<0時(shí)，要使數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，則0<q<1，

 

所以“q>1”是“數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件．故選D.]

4．D　[由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a₃·a₉＝a6(2)≠0，因此a₃，a₆，a₉一定成等比數(shù)列，選D.]

 

5．2ⁿ－1　[由等比數(shù)列性質(zhì)知a₂a₃＝a₁a₄，又a₂a₃＝8，a₁＋a₄＝9，所以聯(lián)立方程a1＋a4＝9，(a1a4＝8，)解得a4＝8(a1＝1，)或a4＝1，(a1＝8，)又?jǐn)?shù)列{a_n}為遞增數(shù)

 

 

列，∴a₁＝1，a₄＝8，從而a₁q³＝8，∴q＝2.

∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n＝1－2(1－2n)＝2ⁿ－1.]

 

6．3^n－1　[由3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列知，4S₂＝3S₁＋S₃，可得a₃＝3a₂，∴公比q＝3，故等比數(shù)列通項(xiàng)a_n＝a₁q^n－1＝3^n－1.]

 

7．4　[設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q>0.則a₈＝a₆＋2a₄即為a₄q⁴＝a₄q²＋2a₄，解得q²＝2(負(fù)值舍去)，又a₂＝1，所以a₆＝a₂q⁴＝4.]

 

8.4(1)　[由題意知數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)a₁＝2，公比q＝2(2)的等比數(shù)列，∴a₇＝a₁·q⁶＝2×2(2)＝4(1).]

 

 

9．50　[由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a₁₀a₁₁＋a₉a₁₂＝2e⁵，所以a₁₀·a₁₁＝e⁵，于是ln a₁＋ln a₂＋…＋ln a₂₀＝10ln(a₁₀·a₁₁)＝10ln e⁵＝50.]

10．解　(1)因?yàn)?/FONT>a_nb_n＋1－a_n＋1b_n＋2b_n＋1b_n＝0，b_n≠0(n∈N^*)，

所以bn＋1(an＋1)－bn(an)＝2，即c_n＋1－c_n＝2.

 

 

 

所以數(shù)列{c_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故c_n＝2n－10.

(2)由b_n＝3^n－1知a_n＝c_nb_n＝(2n－1)3^n－1，

 

于是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n＝1×3⁰＋3×3¹＋5×3²＋…＋(2n－1)×3^n－1，

 

3S_n＝1×3¹＋3×3²＋…＋(2n－3)×3^n－1＋(2n－1)·3ⁿ，

 

相減得－2S_n＝1＋2·(3¹＋3²＋…＋3^n－1)－(2n－1)·3ⁿ＝

 

－2－(2n－2)3ⁿ，

 

所以S_n＝(n－1)3ⁿ＋1.